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1、立体几何证明题型归纳一、平行垂直证明二、平行判定主要方法：1、寻找三角形，通过三角形中位线得到平行（中点）2、寻找平行四边形，通过平行四边形得到平行（一组对边平行且相等）1.线面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用面面平行实现。通过寻找或者作平行平面得到两平行平面2.面面平行：方法一：用线线平行实现。方法二：用线面平行实现线面垂直：（线线垂直 线面垂直）若已知条件有面面垂直：面面垂直证明：用线面垂直实现证明平行线面平行：1）通过线线平行得到①三角形中位线②平行四边形（一组对边平行且相等）2）通过面面平行得到（注意平面寻找方式）3）辅助线：①四边形对角线②三角形中线③体对角
2、线、面对角线例1：如图所示的多面体中，底面为正方形，////，，且．（Ⅰ）求证：//；（Ⅱ）求多面体的体积．ANMCEBFD例2：如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，E、F分别在线段BC和AD上，EF∥AB，将矩形ABCD沿EF折起，记折起后的矩形为MNEF（如图），且平面MNEF⊥平面ECDF.线线垂直通过线面垂直实现(Ⅰ)求证:NC∥平面MFD;(Ⅱ)若EC=3，求证:ND⊥FC;(Ⅲ)求四面体NFEC体积的最大值.线面垂直通过线线垂直实现：1、直线垂直两相交直线2、线面垂直+垂直平面交线解:(Ⅰ)证明:因为四边形MNEF,EFDC都是矩形所以MN∥EF∥CD,MN=EF
3、=CD.所以四边形MNCD是平行四边形,………2分所以NC∥MD,………3分因为NC平面MFD，平面MFD所以NC∥下面MFD………4分ANMCEBFD(Ⅱ)证明:连接ED,设.因为平面MNEF⊥平面ECDF,且NE⊥EF,由面面垂直的性质定理得NE⊥平面ECDF…5分因为平面ECDF,所以FC⊥NE……6分因为EC=CD=3,所以四边形ECDF为正方形,所以FC⊥ED又,所以FC⊥平面NED…7分因为平面NED,所以ND⊥FC(Ⅲ)解:设NE=x,则,其中由(Ⅰ)得NE⊥平面FEC,所以四面体NFEC的体积为………10分所以………11分当且仅当,即时,四面体NFEC的体积最大.…
4、…12分例3：1、在正方体中，、为棱、的中点．（1）求证：∥平面；[来源:]（2）求证：平面⊥平面体积问题：1如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，P为棱CD上的一点，且三棱锥A-CPD1的体积为。（1）求CP的长；（2）请直接写出正方体的棱上满足C1M∥平面APD1的所有点M的位置，并任选其中的一点予以证明。2：在空间几何体中，平面，QPABC平面平面，，．（I）求证：平面；（II）如果平面，求证：．解：（I）如图，取中点，连，由得，∵平面⊥平面，∴平面，………………2分又∵⊥平面，DQPABC∴∥，…………………………4分又∵平面，∴∥平面．………………6分（Ⅱ）连
5、接，则．∵平面⊥平面，面∩面，∴⊥平面．又∵，∴∥．………………8分又由（Ⅰ）知，四边形是矩形，∴，．……………………………………10分∴，而，则．……………………12分变式练习：1．如图，等边ΔABC的中线AF与中位线DE相交于点G,将ΔAED沿DE折起到ΔA'ED的位置.(I)证明:BD//平面A'EF;(II)当平面A'ED丄平面BCED时，证明:直线A'E与BD不垂直.2.如图，已知多面体的底面是边长为的正方形，底面，，且．（Ⅰ）求多面体的体积；（Ⅱ）求证：平面EAB⊥平面EBC；第20题图K°（Ⅲ）记线段CB的中点为K，在平面内过K点作一条直线与平面平行，要求保留作图痕迹
6、，但不要求证明．解：（Ⅰ）如图，连接ED，∵底面且，∴底面∴∵∴面…………………………………………1分∴………2分3分∴．5分（Ⅱ）∵ABCD为正方形，∴AB⊥BC.6分∵EA⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，∴BC⊥EA.7分又AB∩EA＝A，∴BC⊥平面EAB.8分又∵BC⊂平面EBC，∴平面EAB⊥平面EBC.10分（Ⅲ）取线段DC的中点；连接，则直线即为所求．…………………………………………………11分图上有正确的作图痕迹………………………………12分3．如图，在长方体中，，．（I）求三棱锥的体积；（II）当取得最小值时，求证：．解答：（I）由长方体ABCD﹣A1B1C1
7、D1知，AD⊥平面CDD1C1，∴点A到平面CDD1C1的距离等于AD=1，又=CC1×CD=×2×1=1，∴=AD•=．（II）将侧面CDD1C1绕DD1逆时针转90°展开，与侧面ADD1A1共面，当A1，M，C′共线时，A1M+MC取得最小值．由AD=CD=1，AA1=2，得M为DD1的中点．连接C1M，在△C1MC中，C1M=，MC=，C1C=2，∴=+MC2，得∠CMC1=90°，即CM⊥C1M，又B1C1⊥平面CDD1C1，∴B1C1⊥CM，又B1C1∩C1
