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1、第一章二、收敛数列的性质一、数列极限的定义第二节机动目录上页下页返回结束数列的极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：播放——刘徽一、概念的引入正六边形的面积正十二边形的面积正形的面积极限方法是微积分的基本方法典型问题2:面积问题(2500年前的古希腊,阿基米德)例1求抛物线y=x2、直线x=1和x轴所围成的曲边梯形的面积.(3)取Sn的极限，得曲边梯形面积：(2)以n个小矩形面积的和作为曲边梯形面积的近似值：xyOy=x21xi(1)用直线把曲边梯形分成n个窄
2、条，第i个窄条的面积用高为的小矩形面积近似之.二、数列的定义例如注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2.数列是整标函数播放三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过上面演示实验的观察:“无限接近”的等价含义:想要xn与1有多接近,就能有多接近.想要
3、xn1
4、<10,想要
5、xn1
6、<104,想要
7、xn1
8、<10k,想要
9、xn1
10、<,如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意
11、：几何解释:数列极限的定义未给出求极限的方法.例1证所以,注意：例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.小结:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.例3已知例4证例5.用数列极限的定义证明证:欲使即只要因此,取则当时,就有故机动目录上页下页返回结束例6.设证明证:机动目录上页下页返回结束令则先考察不等式因此，只要取则当时,就有故例7.证明证:机动目录上页下页返回结束当由因此，只要取则当时,就有故证:用反证法.及且取因故存在N1,从而同理,因故存在N2,使当n>N2时,有使当n
12、>N1时,假设从而矛盾.因此收敛数列的极限必唯一.则当n>N时,故假设不真!满足的不等式1、唯一性定理2每个收敛的数列只有一个极限.四、数列极限的性质2、有界性例如,有界无界定理2收敛的数列必定有界.说明由数列收敛的几何意义知落在(a-1,a+1)之外的只有有限项,设此有限项为令注意：有界性是数列收敛的必要条件.推论无界数列必定发散.证:设取则当时,从而有取则有由此证明收敛数列必有界.说明:此性质反过来不一定成立.例如,虽有界但不收敛.有数列定理2(收敛数列的有界性)那么它一定有界。例4证由定义,区间长度为
13、1.不可能同时位于长度为1的区间内.3、收敛数列的保号性.若且时,有证:对a>0,取推论:若数列从某项起(用反证法证明)机动目录上页下页返回结束定理34、子数列的收敛性注意：例如，*********************定理4.收敛数列的任一子数列收敛于同一极限.证:设数列是数列的任一子数列.若则当时,有现取正整数K,使于是当时,有从而有由此证明*********************机动目录上页下页返回结束由此性质可知,若数列有两个子数列收敛于不同的极限,例如，发散!则原数列一定发散.说明:此例也说明
14、：一个发散的数列也可能有收敛的子数列.五、小结数列:研究其变化规律;数列极限:极限思想、精确定义、几何意义;收敛数列的性质:唯一性、有界性、保号性、子数列的收敛性.思考与练习1.如何判断极限不存在?方法1.找一个趋于∞的子数列;方法2.找两个收敛于不同极限的子数列.2.已知,求时,下述作法是否正确?说明理由.设由递推式两边取极限得不对!此处机动目录上页下页返回结束作业P311，3,4,6第三节目录上页下页返回结束故极限存在，备用题1.设,且求解：设则由递推公式有∴数列单调递减有下界，故利用极限存在准则机动目
15、录上页下页返回结束机动目录上页下页返回结束2.设证:显然证明下述数列有极限.即单调增,又存在“拆项相消”法刘徽(约225–295年)我国古代魏末晋初的杰出数学家.他撰写的《重差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评注,指出并纠正了其中的错误,在数学方法和数学理论上作出了杰出的贡献.他的“割圆术”求圆周率“割之弥细,所失弥小,割之又割,以至于不可割,则与圆合体而无所失矣”它包含了“用已知逼近未知,用近似逼近精确”的重要极限思想.的方法:柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分
16、学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,
