Fundamentals of Mathematical Statistics

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1、FundamentalsofMathematicalStatistics数理统计基础黄卓整理定义总体Population我们感兴趣的随机变量的分布定义参数Parameter由于总体分布是未知的，我们往往用含有参数的分布来表示，f(y;θ)。如以μ为均值，?2为方差的正态分布。其中μ和?2就是参数。注意：参数不是随机变量，是一个（未知）常数。定义抽样Sampling样本Sample注意：1.来自同一分布2.独立定义统计量Statisticsn个样本点的函数称为统计量。注意，统计量也是一个随机变量。可以计算统计量的均值、方差。定义样本均值SampleMea

2、n1?̅=∑??是一个统计量。??2显然?(?̅)=?，???(?̅)=?定义样本方差SampleVariance定义估计量和估计值用来估计总体未知参数用的统计量。注意，估计量也是一个随机变量。当具体实现的数值(就是样本值确定后)代入估计量时，它就是一个具体的数值，称为估计值。注意：因为估计量也是一个随进变量，我们就可以讨论它的统计性质。因为估计量是样本的函数，所以估计量的统计性质通常称为抽样分布性质（samplingdistribution）。定义无偏估计UnbiasedEstimator.定义偏差BiasofanEstimator.定义估计量的方差

3、The（sampling）varianceofestimators定义有效性Efficiency定义均方误差MeanSquareError（MSE）常用的三种估计方法1.矩法MethodofMoment基本想法：用样本矩来估计总体分布的矩2.最小二乘法选择一个统计量m，最小化均方误差得到：m=Y̅3.极大似然估计MaximumLikelihoodEstimator（略去）定义估计量的大样本性质AsymptoticorLargerSamplePropertiesofEstimators当样本数趋向于正无穷大时，估计量的分布性质。定义一致性Consiste

4、ncy概率极限probabilitylimit定理大数定律Lawoflargenumber（LLN）性质概率极限的连续性性质概率极限的运算定义渐进正态性AsymptoticNormality.定义中心极限定理Thecentrallimittheorem(CLT)alsohasanapproximatestandardnormaldistributionforlargen.Theexact(finitesample)distributionsof(C.12)and(C.13)aredefinitelynotthesame,butthedifference

5、isoftensmallenoughtobeignoredforlargen.定义区间估计IntervalEstimation找到一个随机区间（通常其上下界由估计量决定），这个随机区间盖住未知参数的概率是某个实现给定的常数?，如95%。这个随机区间称为以?为置信度的置信区间（ConfidenceInterval）。例子：假设总体Y均值未知，方差为1.C.19是未知均值的置信区间，而C.18是这个置信区间的某个具体的实现值。方法正态分布均值的置信区间ConfidenceIntervalsfortheMeanfromaNormallyDistributed

6、Population现在定义常数c是的一般情形下：我们可以定义?̅的标准误差（standarderror）记作se(?̅)=s/√?.近似原则，当样本点比较大的时候，c接近2（1.96）.假设检验HypothesisTesting定义假设Hypothesis既关于参数的限制例子定义零假设（NullHypothesis），又称原假设，指进行统计检验时预先建立的假设，也是我们要检验的假设。零假设成立时，有关统计量一般服从已知的某种概率分布。备择假设，对立假设（Alternativehypothesis）与零假设相对的。定义第一类错误TypeOneError

7、Theright-handsideisreadas:“TheprobabilityofrejectingH0giventhatH0istrue.”拒绝一个正确的假设的概率。注意：第一类错误时我们比较关心的错误，所以希望量化它，来控制它的大小。定义显著水平SignificanceLevel事先选定的第一类错误的概率水平。如5%、1%。定义第二类错误TypetwoError接受一个错误的假设的概率。假设检验流程1.确定原假设、备择假设2.事先设定好显著水平，如5%3.设计一个统计量T4.构造一个接受域（接受区间AcceptanceInterval）接受域的

8、补集称为拒绝域或拒绝区间（RejectionInterval）使得此检验犯第一类错误的概率正好