函数的连续性(fi(I)

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1、第五节函数的连续性函数的连续性函数的间断点闭区间上连续函数的性质11.连续的定义并称x0为函数f(x)的连续点.定义1.6若则称f(x)在x0点连续,f(x)在点有定义;(1)(3)三要素:(2)存在;一、函数的连续性2自变量在点的增量:函数相应于的增量:连续.定义1.6’则称函数f(x)在x0点若极限与连续之间的关系:f(x)在x0点连续f(x)在x0点存在极限3例证证明处连续.4(左、右连续)左连续.右连续.左连续右连续定义1.7定理(连续与左、右连续的关系)5例解但不右连续.所以左连续,6例解72.连续函数与连续区间则称f(x)若f(x)在开区间(a,b)内每一点都连续,且在a点右连

2、续,在b点左连续,称该区间为连续区间.在开区间(a,b)内连续,若f(x)在开区间(a,b)内连续,则称f(x)在闭区间[a,b]上连续.所有在区间I上连续的函数组成的集合记为C(I).闭区间[a,b]上连续函数的全体记为C[a,b].8证类似可证,连续.例证明由夹逼定理,要证9例证明证(夹逼定理)必存在正整数n,使得有(3)(1)(从某个n开始)10定理1.15如,则由于在其定义域内连续.在x0点也连续.(函数和差积商的连续性)3.连续函数的运算性质11如,结论:反三角函数在其定义域内皆连续.定理1.17故同理,单调增加且连续,单调的连续函数必有单调的连续反函数.也单调增加且连续.单调减

3、少且连续.单调增加且连续.单调减少且连续.(反函数的连续性)12定理1.16(复合函数的连续性)若函数即记则复合函数设是由与复合而成.③①:复合函数求极限法则①②②:③:13三角函数及反三角函数(1)(2)(3)单调且连续;指数函数对数函数单调且连续;(均在其定义域内连续)(4)幂函数连续;讨论不同值.在它们的定义域内连续;基本初等函数在定义域内是连续的.4.初等函数的连续性14定理1.18初等函数在其定义区间内都是连续的.1.初等函数在其定义域内不一定连续.注2.初等函数求极限的方法.代入法.如,在x=0点的邻域内无定义.定义区间是指包含在定义域内的区间.这些孤立点的邻域内没有定义.15

4、例例解解16例解原式=例解同理可得原式=17定义出现如下三种情形之一:二、函数的间断点及其分类无定义;不存在;间断点.存在,初等函数无定义的点是间断点,分段函数的分段点可能是间断点,需要判定.18间断点的分类:第二类间断点:第一类间断点:称为可去间断点.称为跳跃间断点.若其中有一个为称为无穷间断点.19例有定义,故为f(x)的间断点,第一类且是跳跃间断点.解20例讨论解为第一类间断点,且是可去间断点.连续.21可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义,则可使其变为连续点.注:例解22例有定义,不存在,故为f(x)的间断点,第二类且是振荡型间断点.之间来回无穷次振荡,解23函数的间断点可

5、以有无穷多个.D(x)在定义域R内每一点处都间断,且都是第二类间断点.狄里克莱(Dirichilet)函数如24解函数无定义,是函数的间断点.所以是函数的第二类间断点,且是无穷型.所以是函数的第一类间断点,且是跳跃型.并指出其类型.例25求的间断点,并指出其类型.练习讨论为函数的第一类间断点,且是可去间断点.若有间断点,判断间断点的类型.练习求的间断点,并判别其类型.思考是函数的第一类间断点,且是可去型.是函数的第二类间断点,且是无穷型.26解函数无定义,是函数的间断点.所以是函数的第一类间断点,且是可去型.所以是函数的第二类间断点,且是无穷型.求的间断点,并指出其类型.练习27例且是跳跃

6、间断点.故为f(x)的间断点,第一类左、右极限都存在,但不相等.解若有间断点,判断间断点的类型.28定义设f(x)在区间I上有定义,使得当恒有若存在点为函数f(x)在区间I上的最小值,记为则称(大)三、闭区间上连续函数的性质29注定理中的条件“闭区间”和“连续性”是不可少的.定理1.19(最大最小值定理)在闭区间上连续的函数一定能取到最大值和最小值.推论(有界性定理)30在开区间(0,1)无最大值,如:(1)函数无最大值,无最小值.无最小值.有间断点(2)函数31定理1.20(零点定理)使得几何意义:定义:32定理1.21(介值定理)使得证由零点定理,C为介于A,B之间的任意数,令辅助函数

7、33几何意义:与最小值m之间的任何值(不会有任何遗漏).推论在闭区间上连续的函数必取得介于最大值M至少有一个交点.34例证由零点定理,闭区间上连续函数的性质常用于:(1)判断某些方程根的存在性或实根的范围;(2)证明某些等式.35例证由零点定理,使36证例证明:令由介值定理,使即得使得37作业习题1.5(64页)1.(1)(3)2.(1)(4)(6)3.(1)(2)4.(2)(3)6.8.38作业综合练习题1(65页)7