10级高数A2期末考试题及答案

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1、10级高数A2期末考试题及答案一、填空题（每题3分，共24分）1.微分方程的通解为.2.设函数，则全微分_________3．椭球面在点（1，1，1）处的切平面方程为____4.设积分区域，则二重积分在极坐标下化为二次积分为_________5.设积分区域为，则三重积分_________6.设L是圆周，则对弧长的曲线积分_________7.无穷级数的通项_____.8.函数展开成的幂级数为__________.二、计算下列各题（每题7分，共63分）1、求微分方程的通解.解：分离变量：两边积分，得通解2、设函数，求，，解：43、设函数,其中f是可微函数,求

2、，.解：，4、求函数的极值.求偏导数，令，解得驻点求二阶偏导数，，，于是有，且所以，在点处，函数取极小值5、计算二重积分，其中D是由直线，及y轴所围成的区域.解：原式=6、计算对坐标的曲线积分，其中L为从到的上半圆周，取逆时针方向.解：，补线：从-2到2则4由格林公式，于是，7．用高斯公式计算积分，其中曲面为圆柱面及平面所围成的圆柱体的整个边界曲面的外侧。解：，由高斯公式，原式8、判断级数的敛散性.解：由比值审敛法知，级数发散。9．求幂级数的收敛区间.解：所以，当，即时，级数收敛。收敛区间为三、（本题9分）某厂要用铁板做成一个体积为的有盖长方体水箱。问当长

3、、宽、高分别取怎样的尺寸时，才能使用料最省。解：设水箱的长宽高分别为，则水箱的表面积为题目欲求函数在满足条件时的最小值。4令，则由，，，解得唯一驻点由问题的实际背景知，一定存在最小值。因此当时，表面积最小，即最省料。四、（本题4分）证明：无穷级数收敛，且其和为证明：级数的前n项和为由级数收敛性的定义知，该级数收敛，且其和为4