《小学教育概统》ppt课件

《《小学教育概统》ppt课件》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望9/4/20211§4.1.1数学期望的定义例：某自动化车床一天内加工的零件中，出现次品的数量X是一个随机变量。由多日统计，得X分布律如下:X012340.150.270.440.100.04问车床平均一天出几个次品？解：设车床工作100天，按分布律，理想化后可得平均值为9/4/20212数学期望的定义若级数不绝对收敛，我们称X的数学期望不存在。定义4.1设离散型随机变量X的概率分布为P{X=xk}=pk,k=1,2,…,如果级数绝对收敛，则称此级数为X的数学期望（也称期望或均值），记为9/4/20

2、213泊松分布的期望例4.3设X，则E(X)=.9/4/20214连续型随机变量的数学期望定义4.2设连续型随机变量X的密度函数为f(x),如果广义积分则称此积分为随机变量X的数学期望,记为绝对收敛，9/4/20215例4.4Γ分布的数学期望X的密度函数:解:9/4/20216例：随机变量不存在的例子设随机变量X服从Cauchy分布，其密度函数为：这表明积分不绝对收敛,因而EX不存在.9/4/20217§4.1.2随机变量函数的期望定理4.1设X为随机变量，Y=g(X)是X的连续函数或单调函数，则(1)若离散型随机变量X～P{

3、X=xk}=pk,k=1,2,…，且级数绝对收敛，则9/4/20218XPg(x)Px1x2…xnp1p2…png(x1)g(x2)…g(xn)p1p2…pn…………9/4/20219(2)若连续型随机变量X～f(x)，如果广义积分绝对收敛，则§4.1.2随机变量函数的期望9/4/202110例4.6某车站开往甲地的班车每小时10分,40分发车,一乘客因不知车站发车的时间,在每小时的任意时刻都随机到达车站,求乘客的平均等待时间.解：设乘客到达车站的时间为X,等车时间为Y,则X~U[0,60],且9/4/202111于是,乘客的平均等待时间

4、E(Y)为:例4.69/4/202112定理4.2设(X,Y)为二维随机变量，Z=g(X,Y)是(X,Y)的连续函数.二维随机变量函数的期望(1)设离散型随机变量(X,Y)的概率分布为P{X=xiY=yj)}=pij,i,j=1,2,…,绝对收敛,则如果级数9/4/202113(2)若连续型随机变量(X,Y)～f(x,y)，如果广义积分绝对收敛，则二维随机变量函数的期望9/4/202114例4.7两元件并联构成系统，由元件寿命X与Y独立同分布于e(0.5),求系统的平均寿命.解：写出(X,Y)的联合密度函数令Z表示系统寿命,则9/4/20

5、2115例4.79/4/202116§4.1.3数学期望的性质证:设X有密度f(x)，则9/4/202117证§4.1.3数学期望的性质9/4/202118(4)设Xi(i=1,2,…,n)是n个随机变量，Ci(i=1,2,…,n)是n个常数，则---线性性质(5)若X与Y独立，则E(XY)=E(X).E(Y)(独立时，乘积的期望等于期望的乘积)§4.1.3数学期望的性质9/4/202119例4.8设随机变量（1）求E(X-Y)（2）求（3）若X与Y独立，求E(XY).9/4/202120例4.9设XBn,p,则EX=np解：设X表

6、示n次独立重复试验中事件A发生的次数，则而故9/4/202121§4.2方差4.2.1方差的定义及计算定义4.3设X是随机变量，若E(X-EX)2存在，称为X的方差，记为D(X)=E(X-EX)2（或Var(X)），称为标准差。(方差本质是随机变量函数的期望)度量随机变量与均值的偏离程度9/4/202122方差的计算式(实数)9/4/202123例4.11例4.129/4/202124§4.2.2方差的性质(常数的方差等于0)（1）（2）a,b为常数，（3）若X与Y独立，9/4/202125例4.13例4.14随机变量且X，Y，Z相互独立

7、，9/4/202126(4)设随机变量Xi(i=1,2,…,n)相互独立，ci(i=1,2,…,n)是n个常数，则(5)D(X)=0存在常数C，使得P{X=C}=1，且C=EX.§4.2.2方差的性质9/4/202127§4.2.3变异系数，矩定义4.4若随机变量X的期望、方差均存在，且，则变异系数为定义4.5若随机变量X对非负整数k有下列期望存在，X的k阶原点矩X的k阶中心矩9/4/202128例4.15随机变量求X的变异系数，k阶原点矩及3阶中心矩。9/4/202129随机变量的标准化设随机变量X的数学期望E(X)，方差D(X)均存

8、在，且D(X)>0，定义一个新的随机变量则EX*=0，DX*=1，称X*是随机变量X的标准化随机变量。9/4/202130定义4.6：对二维随机变量(X,Y)，Cov(X,Y)=E{[X-E(