北邮概率论讲议第10讲

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1、第六章随机过程的基本概念于翠屏yucuiping@bupt.edu.cn2021/7/24北京邮电大学电子工程学院12021/7/24北京邮电大学电子工程学院2第六章随机过程的基本概念理解随机过程的基本概念，知道样本函数、状态空间的定义；了解随机过程一维分布函数、分布密度的定义，知道推广到n维的情形；掌握随机过程的数字特征：均值函数、方差函数、自相关函数、自协方差函数、互相关函数、互协方差函数。熟练掌握均值函数和相关函数的求法；了解二阶矩过程、正交增量过程、马尔可夫过程、独立增量过程、平稳增量过程、正态随机过程、泊松过程、维纳过程、平稳过程的定义及性质；知道两

2、随机过程互不相关和相互正交的概念。2021/7/24北京邮电大学电子工程学院3第一节随机过程的定义例6.1.1考察进入某商店的顾客数。用ξ表示单位时间内（如每天）进入商店的顾客数，则ξ是一个随机变量，且ξ~(λ),λ表示顾客的到达率。研究n个时间段进入商店的顾客数，则需要用一个n维的随机向量（ξ1,ξ2,…,ξn）来刻画。研究随着t的不断变化，在(0，t]内进入商店的顾客数，则需要用一族随机变量ξ(t)来研究。对每一个固定的t,ξ(t)是一个随机变量。2021/7/24北京邮电大学电子工程学院4第一节随机过程的定义假设目标是活动的，则某一时刻测量到该目标的距

3、离是随机变化的，可以用一个随机变量ξ来研究，一次测量的结果是一个非负实数。在指定的n个时刻测量到该目标的距离可以用一个n维随机变量来刻画，一次测量的结果是一个分量为非负实数的n维向量(x1,x2,...,xn)。如果对该目标在整个运动过程进行跟踪测量，测量的结果就需要用一族随机变量ξ(t)来研究,一次测量的结果是自变量为t的取非负实数的函数x(t)。例6.1.2考察测量到某一目标的距离。2021/7/24北京邮电大学电子工程学院5tx(t)oξ2ξ1t1t2ξntn第一节随机过程的定义例6.1.2考察测量到某一活动目标的距离。2021/7/24北京邮电大学电子

4、工程学院6第一节随机过程的定义随机过程的基本概念定义6.1.1.设(,F,P)为一概率空间，TR(1)，如果对任一tT，有一定义在(,F,P)上的随机变量(,t)与之对应，则称{(,t),tT}为一随机过程，简记为{(t),tT}。状态空间：定义中的T是时间、长度、重量等物理量的集合，以后我们不妨将它看作时间区间。固定tT，把随机过程所取的值称为在时刻t的状态，并将所有可能的状态构成的集合称为状态空间，用E来表示。样本函数：(,t)是一个二元函数，当取定时，它是自变量为t，且定义域为T的函数，称为该随机过程的样本函数。2021

5、/7/24北京邮电大学电子工程学院7例6.1.3抛掷一枚硬币的试验，样本空间是S={H,T},出现H和T的概率均为0.5，定义：当t固定时，X(t)是一个随机变量，当样本点固定时，得到两个样本函数{cosπt,t}。状态空间为R.2021/7/24北京邮电大学电子工程学院8第一节随机过程的定义例6.1.4随机相位正弦过程，tR,θ服从上的均匀分布，A和ω是常数。则它的状态空间是[-A,A]；对任意i，是样本函数。x(t)t第一节随机过程的定义例6.1.5设g(t)是周期为T，幅度为A的矩形波,η是服从两点分布的随机变量，则ξ=ηg(t),t>0是一随机过

6、程，g(t)和-g(t)均是它的样本函数。2021/7/24北京邮电大学电子工程学院9Tη=1η=－1Tt-g(t)g(t)t2021/7/24北京邮电大学电子工程学院10注意：2021/7/24北京邮电大学电子工程学院11第二节随机过程的有限维分布函数族对于一维和多维随机变量，利用它们的分布函数可以完全刻画它们的统计特性，对于随机过程，同样借助于分布函数来研究其统计规律。设{(,t),tT}为一随机过程，取定tT和xR,定义为随机过程(t)的一维分布函数，称{F(t;x),tT}为随机过程(t)的一维分布函数族。2021/7/24北京邮电大学

7、电子工程学院12第二节随机过程的有限维分布函数族定义6.2.1设{(t),tT}为一随机过程，对任意正整数n及任意ti∈T，xi∈R(i=1,2,...,n)，称分布函数的全体为随机过程(t)的有限维分布函数族。概率密度：2021/7/24北京邮电大学电子工程学院13随机过程的有限维分布函数族具有下列性质：（1）对称性（2）相容性对n>m，有：2021/7/24北京邮电大学电子工程学院14第二节随机过程的有限维分布函数族定理6.2.1（Kolmogorov存在定理）设已给参数集T及满足对称性和相容性条件的分布函数族F，则必存在概率空间(,F,P)及定义

8、在其上的随机过程{(,t),tT