多元函数的微分学——习题课

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1、第一次习题课一、内容及要求1理解多元函数、多元函数的极限、连续、偏导数及全微分的定义2会求一些二元函数的极限、能判别函数的连续性。4多元函数连续、可导、可微的关系．能利用一元函数的求导法则计算多元函数的一阶二阶偏导，会求多元函数的全微分。5多元复合函数的偏导数变量关系图uvzxy则有（2）几种变形uxyzt（1）链式法则—“连线相乘，分线相加”(i)多个中间变量，一个自变量uzxy(ii)一个中间变量，多个自变量：(iii)中间变量与自变量混合存在:z=f(x，y，u)，u=u(x，y)xyuzxy（3）全微分形式的不变性:z=f(u，v)，u，

2、v不管是自变量还是中间变量，有2.隐函数的偏导数（1）单个方程的情形理论基础是复合函数的求导法则，具体计算有三种方法:（2）方程组的情形（4）复合函数的高阶偏导数的计算(难点)求Zxx、Zxy、Zyy时应该注意到fu、fv仍是复合函数.(i)公式法；(ii)复合函数的求导法则；(iii)一阶全微分形式的不变性。求导方法：确定自变量及因变量，各方程对某一个自变量求偏导(或对各方程的两端取微分)，解方程组求得各因变量对这个自变量的偏导数(或导数、或微分)一般：变量个数－方程个数=自变量个数二、典型例题分析1、选择与填充（A）不连续　　（B）偏导存在(

3、C)可微例２解例2解例３.设z=f(x，y，u)，u=xey，f具有二阶连续偏导数，求变量关系图为：zxyuxy代入得证。例８证明：两端求对x的偏导数，得两端同乘以x2z2得方程的两端求对y的偏导数，得两端同乘以y2z2得(1)式+(2)式例９解：方程两端求对x的偏导数，有解得方程两端求对y的偏导数，有或利用全微分形式的不变性求偏导整理可得由此可求得例10.设，　其中f、g具有一阶连续偏数，解　　所给方程两端对x求偏导，得整理可得例11.设y=f(x，t)，而t是由方程F(x，y，t)=0所确定的x、y的函数，其中f，F都具有一阶连续偏导数，试证

4、明证法一：首先分析一下变量间的关系。由式（1）可确定一元函数y=y(x)。（1）式两端对x求导得t是由方程F(x，y，t)所确定的x、y的函数，t=t(x，y)，而y=f(x，t)，于是有y=f[x，t(x，y)](1)t是F(x，y，t)=0确定的x、y的函数，由隐函数求导法知将（3）式代入（2）式，并从中解出即得所欲证之等式。证法二：将所给两方程联立：方程组中含两个方程、三个变量，可确定两个一元函数y=y(x)，t=t(x)。方程组中的两个方程两端分别对自变量x求导，有解上面的方程组证法三：利用全微分形式不变性消去dt例12解于是可得,练习：

5、2解