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1、1第六节广义积分初步一、无穷限积分二、瑕积分2一.无穷限积分边梯形的面积可记作其含义可理解为引例.曲线和直线及轴所围成的开口曲3定义1.设若存在,记作这时称反常积分收敛；如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地，若则定义则称此极限为的无穷限反常积分,4则定义只要有一个极限不存在,就称发散.无穷限的反常积分也称为第一类反常积分.并非不定型,说明：上述定义中若出现它表明该反常积分发散.(为任意取定的常数)5解：能否将这里的书写方式简化？例1.如何求无穷限积分？（1）求普通定积分；（2）计算普通定积分的极限.6引入记号则有类似牛–莱公式的计算表达式：于是，78但使用时，最好
2、先求出原函数，否则可能会出现错误.9例3.计算反常积分解：思考：分析：原积分发散!注意：对反常积分,只有在收敛的条件下才能使用“偶倍奇零”的性质,否则会出现错误.10例4.解：11例5.证明第一类积分当时收敛；时发散,其中证：当时有当时有因此,当时,反常积分收敛,其值为当时,反常积分发散.12无穷限积分的基本运算性质：其它类型的无穷限积分的情形类似于此.（5）无穷限积分也可按照定积分的换元法进行计算.13例6.计算反常积分解：14解：例7.15二.瑕积分开口曲边梯形的面积可记作其含义可理解为引例：曲线所围成的与轴,轴和直线16瑕点的概念：17定义2.设存在,这时称反常积分
3、收敛；如果上述极限不存在,就称反常积分发散.类似地,若若极限则定义则称此极限为函记作而在点的右邻域内无界,而在的左邻域内无界,数在上的反常积分,18若被积函数在积分区间上仅存在有限个第一类说明：无界函数的积分又称作第二类反常积分,无界点常称邻域内无界,为瑕点(奇点).例如,间断点,而不是反常积分.则本质上是常义积分,则定义而在点的19若瑕点计算表达式：则也有类似牛–莱公式的则可相消吗?特别地，若为瑕点,则若为瑕点,则若都为瑕点,则20例8.计算反常积分原式解：显然瑕点为,所以21例9.解：22瑕积分的基本运算性质23例10.解：24例11.计算解：为瑕点25例12.证明反
4、常积分当时收敛；时发散,其中所以,当时,该广义积分收敛,其值为当时,该广义积分发散.证：当时,当时,26例13.解：不存在27注3：在定义3中,若令三.定义3：参变量的函数注1：当时,定义3中的广义积分收敛.注2：不仅是个无穷积分,而且当时也是一个(瑕点为)瑕积分.下面介绍一个在数学、物理等许多领域中都有广泛应用的特殊积分—,也称为欧拉积分.称为.则有的另一形式：28特别地,注4：的基本性质(1)递推公式：.29(3)余元公式：特别地,反复用递推公式,则有在任意一点处的函数值都可通过递推公式逐步减小,直到,而在内的函数值可查表得到.30例14.计算下列各式的值：例15.计
5、算下列积分：31(此积分是概率论中常用的积分.)练习,并求其值.解：令试证
