初中阶段函数平移问题的实质探究

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1、初中函数变换问题共性的探究内容摘要：初中阶段学生所学的函数，主要有一次函数、反比例函数和二次函数。许多的老师在进行函数的变换问题的教学时，总结了这样或那样的口诀，可是在很多时候，由于函数的不同和变换要求的不同，各种口诀和方法都是独立的，没有相互贯通。如果能找到其中的共性，把初中阶段所接触的函数变换问题都用同一个思想方法进行分析解决，那么学生学习起来就更加轻松，更加高效，教师教起来也会相互连贯，举一反三，效果显著。笔者认为，函数的变换的本质是点的坐标变换。通过对点的坐标变换的分析，可以得到解决所有初中阶段函数变换问题的规律方法。关键词：初中阶段函数变换共性点的坐标前不久，笔者刚刚对所

2、教学生进行了初三函数部分内容的复习教学。发现许多学生对函数的变换练习的解法比较繁琐，比如在二次函数的平移中，就记得上下平移在K,上加下减；左右平移在M，左加右减。在碰到函数一般式的平移时，都先转化为顶点式，再用口诀解决平移问题，先出新的解析式，再转化为一般式回答问题，过程繁琐，耗费时间长，而对于反比例函数的各种变换则比较生疏，只能照搬公式，不理解意义。初中阶段的函数变换，很多都是平移问题，下面以平移问题为例分析研究函数变换问题的共性。函数平移问题一、学生对函数变换问题解题的现状。例1.把一次函数y＝－3x＋2先向上平移1个单位，再向左平移2个单位，求新的一次函数解析式。学生的解法：

3、先向上平移，运用上加下减得口诀得y＝－3x＋2，再向左平移2个单位，则y＝－3x＋b经过（-2,2），解得b＝-4.所以新的解析式为：y＝－3x－4例2.反比函数平移问题。把反比例函数y=向左平移1个单位，则下列结果正确的是……………………（）（A）y＝（B）y＝（C）y＝（D）y＝＋1学生的解法：利用反比例函数的图形性质分析y=是分布y轴两侧的，此时x≠0，那么向左平移1个单位后，相当于y轴向左平移到x＝-1的位置，即函数的x≠-1，故分母为x+1，所以选(C)答案。例3.二次函数式平移问题。把二次函数y＝x2－3x＋2向左做平移1个单位后，结果正确的是……………………（）（A）

4、y＝x2－2x＋2（B）y＝x2＋2（C）y＝x2－x（D）y＝x2－2x＋1学生的解法：y＝x2－3x＋2=（x－）2-再根据左加右减，得到新的解析式y＝（x－）2－＝x2－x所要选(C)答案。一、学生对函数平移问题解题状况的分析。在例1的练习中，书本上只是对一次函数的b的上下移动做了说明和介绍，所以学生再对一次函数的上下移动问题做的较好，但左右的平移问题介绍不多，比较生疏，所以采用了待定系数法。这也是比较常用的方法，只不过缺点在于步骤较多，容易出错。在例2的练习中，大多数的学生对这一问题束手无策，因为根本没有碰到过类似的问题，也没有现成的函数模式进行假设，所以在这里待定系数法能

5、发挥的作用很小。所以只有从反比例函数的定义上去类比推导来得出。在例3的练习中，应该说，学生的解法还是好的，也是现在大多数的学生进行采用的。在实际教学中，也有老师对一般式的平移方法进行了总结和归纳，但由于用的不多，学生记得也不会很扎实，所以很多学生还是转换为顶点式进行平移。缺点是遇到带分数或数字较大的问题时，运算量比较大，容易出错，速度也不快。二、什么是函数变换问题的共性要理解函数变换问题的本质，首先是要理解什么是函数。浙教版义务教育课程标准实验教科书八上第145页是这样定义的：“一般地，在某个变化过程中，设有两个变量x,y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值，那么就说y

6、是x的函数，x叫做自变量。”由此可以看出在一个确定函数关系的函数里，自变量的确定，导致了函数值得确定。从定义上看，函数变换问题，实际是原函数根据变换的要求进行的适当变更，从而得到目标函数的问题。即当自变量确定时，目标函数的函数值按变换的要求在原函数值得基础上进行调整，或函数值确定时，目标函数的自变量值按变换的要求在原函数的自变量值的基础上进行的调整。从函数的图像上看，图形是由无数的点组成的，所以函数图像的变换，可以体现在一个具体点的相应的位置变换上。如把某函数向上平移n个单位，则其中的某个点的位置可以由（a,b）转变为（a,b+n）,所以，体现到解析式上就是自变量的值没有发生变化而

7、函数值发生了变化，相应的增加了n个单位。所以变换后的解析式只需在把原函数的函数值增加n个单位即可。即上加下减在函数值。例1.把反比例函数y=向上平移2个单位，求新的函数。例2.y＝x2－3x＋2向下做平移1个单位，求新的函数分析：函数平移就是点的平移，上下平移，意味着自变量不变，函数值发生变化。所以例4中的目标函数y，由原来的变为+2，即新函数为y=+2。例5中的目标函数y，由原来的x2－3x＋2变为x2－3x＋2-1，即新函数为y=x2－3x＋1.如把某函数向左平移