导数及其应用--复习课

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1、复习课:导数及其应用教学目标重点：函数、导数、方程、不等式综合在一起，解决极值，最值等问题．难点：导数在解决实际问题中的作用．能力点：运用所学知识解决有关问题，培养学生的灵活思维能力．教育点：培养学生观察、分析、归纳能力．自主探究点：例题及变式的解题思路的探寻．易错点：利用求导数讨论函数的单调性，要注意＞0是递增的充分条件而非必要条件．学法与教具1．学法：讲授法、讨论法．2．教具：多媒体、投影仪．一、【知识结构】二、【知识梳理】1．利用导数的几何意义，求切线方程，解决与切线方程有关的问题．2．f′(x)>0在(a，

2、b)上成立是f(x)在(a，b)上单调递增的充分条件利用导数研究函数的单调性比用函数单调性的定义要方便，但应注意f′(x)>0(或f′(x)<0)仅是f(x)在某个区间上递增(或递减)的充分条件．在区间(a，b)内可导的函数f(x)在(a，b)上递增(或递减)的充要条件应是____________(或____________)，x∈(a，b)恒成立，且f′(x)在(a，b)的任意子区间内都不恒等于0．这就是说，函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在该区间内个别点x0处有f′(x0)＝0，甚至可以在无穷多个点处f′(

3、x0)＝0，只要这样的点不能充满所给区间的任何子区间，因此在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立，解出参数的取值范围，然后检验参数的取值能否使f′(x)恒等于0，若能恒等于0，则参数的这个值应舍去，若f′(x)不恒为0，则由f′(x)≥0(或f′(x)≤0)，x∈(a，b)恒成立解出的参数的取值范围确定．3．对于可导函数f(x)，f′(x0)＝0并不是f(x)在x＝x0处有极值的充分条件对于可导函数f(x)，x＝x0是f(x)的极值点，必须具备①f′(

4、x0)＝0，②在x0两侧，f′(x)的符号为异号．所以f′(x0)＝0只是f(x)在x0处有极值的必要条件，但并不充分【范例导航】例1已知函数f(x)＝3ax4－2(3a＋1)x2＋4x．(1)当a＝时，求f(x)的极值；(2)若f(x)在(－1，1)上是增函数，求a的取值范围．【解答】(1)f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)．当a＝时，f′(x)＝2(x＋2)(x－1)2，∴f(x)在(－∞，－2]内单调递减，在[－2，＋∞)内单调递增，当x＝－2时，f(x)有极小值．∴f(－2)＝－12是f(x)

5、的极小值．(2)在(－1，1)上f(x)是增函数，由此可得在(－1，1)上，f′(x)＝4(x－1)(3ax2＋3ax－1)≥0，∴3ax2＋3ax－1≤0．①令g(x)＝3ax2＋3ax－1(－10时，若①成立，根据二次函数g(x)＝3ax2＋3ax－1(－1

6、即a≥－，∴－≤a<0．综上所述，f(x)在(－1，1)上是增函数时，a的取值范围为．【点评】(1)根据函数的单调性确定参数范围是高考的一个热点题型，其根据是函数在某区间上单调递增(减)时，函数的导数在这个区间上大(小)于或者等于零恒成立，转化为不等式恒成立问题解决．(2)在形式上的二次函数问题中，极易忘却的就是二次项系数可能等于零的情况，这样的问题在导数的单调性的讨论中是经常遇到的，值得考生特别注意．变式训练:设函数f(x)＝x4＋ax3＋2x2＋b(x∈R)，其中a，b∈R．(1)当a＝－时，讨论函数f(x)的

7、单调性；(2)若函数f(x)仅在x＝0处有极值，求a的取值范围；(3)若对于任意的a∈[－2，2]，不等式f(x)≤1在[－1，0]上恒成立，求b的取值范围．解析　(1)f(x)在和(2，＋∞)上是增函数，在(－∞，0)和上是减函数(2)　(3)(－∞，－4]例2已知函数f(x)＝x2－alnx在(1，2]是增函数，g(x)＝x－a在(0，1)为减函数．(1)求f(x)、g(x)的解析式；(2)求证：当x>0时，方程f(x)＝g(x)＋2有唯一解．【解答】　(1)解　f′(x)＝2x－，依题意f′(x)≥0，x∈(

8、1，2]，即a≤2x2，x∈(1，2]．∵上式恒成立，∴a≤2．①又g′(x)＝1－，依题意g′(x)≤0，x∈(0，1)，即a≥2，x∈(0，1)．∵上式恒成立，∴a≥2．②由①②得a＝2．∴f(x)＝x2－2lnx，g(x)＝x－2．(2)证明　由(1)可知，方程f(x)＝g(x)＋2，即x2－2lnx－x＋2－2＝0．设h(x)＝x2－2lnx－x＋2