高数D13一元函数积分学

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1、二、典型例题分析与解答第四、五、六章机动目录上页下页返回结束一元函数积分学(40)一、知识点与考点机动目录上页下页返回结束一、知识点与考点(一)不定积分若1.原函数与不定积分的定义:有则称F(x)为f(x)在区间I上的一个原设函数f(x)在区间I内有定义,函数.称为f(x)在区间I上的不定积分,记为f(x)在区间I上的全体原函数F(x)+c,2.不定积分的性质:(1)(2)机动目录上页下页返回结束(1).4.基本积分公式(2)(互逆运算)(1)3.不定积分与微分的关系(2).(3).(4).(5).(6).(7).(8).机动目录上页下页返回结束(9).

2、(10).(11).(12).(13).(14).(15).(16).(17).(18).(19).(20).(21).(22).5.基本积分法:(1).直接积分法机动目录上页下页返回结束(2)换元积分法第一类换元积分法(凑微分法)常用凑微分公式:①②③④⑤⑥⑦⑧第二类换元积分法(变量代换法)机动目录上页下页返回结束⑨⑩①②(正弦代换)(正切代换)(正割代换)(根式代换)三角代换令则机动目录上页下页返回结束万能代换:积分步骤:①凑微分选u,v;(3)分部积分法③②代公式;③算微分;④求积分.例1.①②③④则有机动目录上页下页返回结束(4)有理函数的积分有

3、理函数:时,为真分式;时,为假分式.利用多项式综合除法,总可以将一个假分式化为一个多项式与一个真分式之和的形式.例如:__任何有理真分式通过部分分式均可化为下列四种类型:(2)机动目录上页下页返回结束其中有理真分式的积分(1)机动目录上页下页返回结束(3)(不作要求)(4)注:但计算相当复杂,解题时应尽量寻求更为简便的方法,如凑微分法倒代换法等,有理函数虽然一定可积,避免使命一般方法.例2.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机动目录上页下页返回结束(2)用赋值法故机动目录上页下页返回结束去分母,得恒等式令得再令得(3)用比较系数法去分母,得恒

4、等式或比较恒等式两边x同次幂的系数得(4)综合法机动目录上页下页返回结束原式=去分母,得恒等式令得得再令得比较项的系数,得1.定积分的定义:机动目录上页下页返回结束(二)定积分(七条性质二条推论)2.定积分的几何意义:3.定积分的性质:曲边梯形面积的代数和.(1)(2)(3)则有(4)则有(5)则有推论1.则机动目录上页下页返回结束(6)(定积分估值定理)若M和m分别是f(x)在[a,b]上的最大值和最小值,则有(7).(定积分中值定理)若f(x)是[a,b]上的连续函数,则在[a,b]上至少存在一点,使等式推论2.成立.补充规定:(1)机动目录上页下

5、页返回结束4.定积分计算法(1)牛顿-莱布尼兹公式(2)当a=b时,(2)定积分换元积分法(3)(3).定积分分部积分法5.重要公式(1)机动目录上页下页返回结束(2)若f(x)为[–a,a]上的奇函数,则若f(x)为[–a,a]上的偶函数,则(3)n为奇数n为偶数注意:余弦函数无此性质!(4)若f(x)是周期为T的周期函数,机动目录上页下页返回结束a为任意实数,(三)广义(反常)积分1.无穷区间的广义积分则有:2.无界函数的广义积分(略)机动目录上页下页返回结束2.定积分在几何上的应用:(1).平面图形的面积①直角坐标1.定积分微元法若整体量U在区间[

6、a,b]上具有可加性,即有而局部量U≈du=f(x)dx则(四)定积分的应用机动目录上页下页返回结束起点x=a对应参数t=按顺时针方向决定起点与终点.终点x=b对应参数t=②参数方程(2)旋转体的体积令已知机动目录上页下页返回结束二、典型例题分析与解答且f(1)=0,则f(x)=______.解:则代入由f(1)=0,得c=0.故应填注释:的理解和分部积分法.解决此类问题的方法是先作变量代换求出本题考查对于导函数然后积分就可求得例3.例4.机动目录上页下页返回结束解法1:被积函数是两类函数相乘,应使用分部积分法.原式=计算不定积分原式=又机动目录上

7、页下页返回结束解法2:则令本题考查不定积分的换元积分法与分部积分法.注释:解法1:机动目录上页下页返回结束例5.求不定积分解法2:令则机动目录上页下页返回结束注释:本题考查不定积分的分部积分法和换元积分法.例6.求不定积分原式=机动目录上页下页返回结束解法1:解法2:由半角公式得机动目录上页下页返回结束解法3:用万能代换,令则机动目录上页下页返回结束注释:本题考查三角函数有理式的不定积分.例7.求定积分解:机动目录上页下页返回结束原式=注释:本题考查定积分的分部积分法.例8.填空题机动目录上页下页返回结束注释:应填解:本题考查定积分的分部积分法.例9.设

8、解:求机动目录上页下页返回结束令则原式=且x=1时,t=–1,注释:本题考查定积