《信号与系统》课程讲义1-3,哈工大

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1、§1.3信号分解一、直流分量与交流分量1．直流分量①也称信号平均值②定义：2．交流分量①定义：②特性：3．平均功率=直流功率+交流功率注：若为周期信号不必加T→∞§1.3信号分解二、偶分量与奇分量1．偶分量①定义：②特性：偶函数，即2．奇分量①定义：②特性：i)奇函数，即ii)平均值为0，即3．平均功率=偶分量功率+奇分量功率注：若为周期信号不必加T→∞§1.3信号分解[例1]：求下面信号的奇分量和偶分量解：f(t)t1-10231t1-1023f(-t)1t11-1020t§1.3信号分解三、脉冲分量1．信号分解为冲激信号叠加①先将信号近似为矩形窄脉冲分量的叠

2、加，即t0f(t)§1.3信号分解②取极限i)ii)<根据上式以及冲激函数为偶函数>可得抽样特性：§1.3信号分解2．将信号分解为阶跃信号之和(设f(t)=0(t<0))①先将信号近似为阶跃信号分量的叠加，即②取极限0tf(t)§1.3信号分解四、实部分量与虚部分量1．2．3．4．实际不存在，但可借助其来研究实信号或简化运算§1.3信号分解VCYYXθXθYCY五、正交函数分量1．二维空间正交矢量①矢量内积定义：其中②矢量长度定义：③用一个二维矢量Y近似另一个矢量X用CY近似X，误差最小误差是垂直情况，此时若，C=0，此时X⊥Y正交，即=0⑤由二维空间

3、可推广到n维空间§1.3信号分解X④任何二维矢量均可分解为两个正交矢量i)n维空间两个矢量的内积ii)n维空间两个矢量的长度iii)n维空间一个矢量Y表示另一个矢量X误差最小时当2．正交函数①用§1.3信号分解近似()何时误差最小令：则：即：§1.3信号分解②定义函数内积则：当时，与正交§1.3信号分解[例2]：用()逼近求解:使最小，可得即：§1.3信号分解[例3]：用sint在区间(0,2π)内来逼近cost，求解：即：§1.3信号分解3．正交函数集①定义：满足(i≠j)即：②f(t)用正交函数集的线性组合近似，何时误差最小？将这些代入表达式计算出§1.3信

4、号分解③归一化正交函数集对于的归一化正交函数集即④复变函数正交特性i)ii)正交条件iii)正交函数集定义§1.3信号分解4．完备正交函数集②定义方法二：之外不存在函数x(t)()，i为1…n的任意正整数，满足等式则称此函数集为完备正交函数集在（t1，t2）内近似表示若令n→，则称此函数集为完备正交函数集此时①定义方法一：若§1.3信号分解③帕塞瓦尔方程：由对的归一化正交函数集：④广义傅立叶级数展开：常用完备正交函数集：i)三角函数集：ii)复指数函数集：iii)沃尔什函数集§1.3信号分解[例4]：1,x,x2,x3是否是区间(0,1)的正交函数集？区间(-1

5、,1)呢？解：由于=0，故1,x,x2,x3不是区间(0,1)的正交函数集=0，==0也不是(-1,1)上的正交函数集§1.3信号分解[例5]：证明cost,cos2t,……cosnt为区间(0,2)中的正交函数集，)中的正交函数集？又问是否为区间(0,可以证明故得证。对于函数cost和函数cos2t可证故不是区间(0,)中的正交函数集。证明：对于任意正整数§1.3信号分解,[例6]：已知：(0

6、正交函数集。)上的证明：（用反证法）存在函数1，满足0<=2<+和故sint,sin2t,…sinnt,…不够完备。=0，即至少函数1与sint正交，§1.3信号分解解：注意：由于1,t,t2不是(-1,1)上的正交函数集，[例8]：用二次方程在区间(-1,1)上近似表示函数求使方均误差最小的a,b,c。故不能用公式：a=,b=,c=来做题；只能用定义按下述方法去做：=§1.3信号分解令：=0=0=0=0=0=0§1.3信号分解可得如下方程组：§1.3信号分解作业：1-17，1-18