孙会元固体物理基础第四章晶格振动和晶体的热性质4.7非简谐效应

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1、4.7非简谐效应一、晶体的热传导本节主要内容:二、晶体的热膨胀4.7非简谐效应在简谐近似的情况下，晶格原子振动可描述为3N个线性独立的谐振子的迭加，各振子间不发生作用，也不交换能量；晶体中某种声子一旦产生，其数目就一直保持不变，既不能把能量传递给其他声子，也不能使自己处于热平衡状态。也就是说,在简谐晶体中,声子态是定态,携带热流的声子分布一旦建立,将不随时间变化(表明弛豫时间为无穷大),这意味着无限大的热导率.所以，用简谐近似理论不能解释晶体的热膨胀和热传导现象。实际上，原子间的相互作用力(恢复力)并

2、非严格地与原子的位移成正比。当在晶体的势能展开式中，考虑3次方及其以上的高次项时，则晶格振动就不能描述为一系列严格线性独立的谐振子.通常把3次方及其以上的高次项称为非简谐项。如果原子的位移相当小，则非简谐项和简谐项(2次方项)相比为一小量，则可把非简谐项看成微扰项。由于微扰项的存在，这些谐振子就不再是相互独立的了，而相互间要发生作用，即声子和声子之间要相互交换能量。这样，如果开始时只存在某种频率的声子，由于声子间的互作用，这种频率的声子转换成另一种频率的声子。即一种频率的声子要湮灭，而另一种频率的声子

3、会产生。这样，经过一定的弛豫时间后，各种声子的分布就能达到热平衡。所以，非简谐项的存在是使晶格振动达到热平衡的最主要原因.一般把从简谐晶体的声子出发，在此基础上做进一步修改的方法，称为准简谐近似。一、晶体的热传导1.N过程和U过程把声子看成准粒子后，非简谐项的微扰作用，可导致声子态之间的跃迁。这种声子态之间的跃迁常称为声子-声子相互作用，或声子之间的碰撞或散射。声子间的相互作用遵循能量守恒和准动量守恒。非简谐作用中的势能三次方项对应于三声子过程，如两个声子碰撞产生另一个声子或一个声子劈裂成两个声子；非

4、简谐作用中的势能四次方项对应于四声子过程。三声子过程(势能展开取到3次方项)四声子过程(势能展开取到4次方项)两个声子通过非简谐项的作用,产生了第三个声子,这可以看成是两个声子碰撞之后变成了第三个声子.声子的这种相互作用可以理解为:一个声子的存在将在晶体中引起周期性的弹性应变,由于非简谐项的影响,晶体的弹性模量不是常数,而受到弹性应变的调制.由于弹性模量的变化，将使第二个声子受到散射而产生第三个声子。该过程遵循能量守恒和准动量守恒。设两个相互碰撞的声子的频率和波矢分别为1、q1和2、q2；而第三个

5、声子的频率和波矢为3、q3，对于该三声子过程，则有:由于晶格振动的状态是波矢的周期函数，即q态和q+Gh态等价。因此还有如下等效关系实际情况确实存在上述两种对应关系.比如在研究热阻时，发现两个同向运动的声子相互碰撞，产生的第三个声子的运动方向与它们相反，即运动方向发生倒转。因此两个声子的碰撞过程可以满足称为正常过程(normalprocess)或N过程.两个声子的碰撞过程也可以满足称为倒逆过程(Umldappprocess)或U过程，也叫反转过程。显然对于三声子碰撞过程来说，N过程意味着波矢q1+q

6、2=q3始终在第一布里渊区内，且方向大致相同，因而不改变热流的基本方向.而U过程则要求波矢q1+q2在第一布里渊区以外，导致q3几乎与q1+q2方向相反.N过程U过程反常过程可以认为是碰撞的同时发生了布拉格反射的结果，它是产生热阻的一个重要机制。2.晶格的热传导和热导率我们在第一章已经讨论过金属的热传导，金属主要是自由电子气体对热能的输运。对于晶格而言，我们可以认为晶格中存在大量的声子气体，声子是热能的携带者。声子属于波色子，满足波色统计，即显然温度高的地方，声子数目就多；温度低的地方，声子数目就少。

7、从而由于温度梯度的存在，将导致声子从高温向低温的扩散，形成热流。这是热传导的准经典解释。类似于第一章，晶格的热导率满足由于声子的平均热运动速度一般取成固体中的平均声速，所以基本上与温度无关，因而影响热导率的主要是晶格比热容CV和声子的平均自由程。其中，CV为晶格比热容，为声子的平均自由程，为声子的平均热运动速度，常取固体中的平均声速。声子的平均自由程与声子数目有关，声子数目越多，声子之间的碰撞几率就越大，从而声子的平均自由程就越小；反之，声子数目越少，声子之间的碰撞几率就越小，从而声子的平均自

8、由程就越大。声子数目可由波色统计给出。高温时，声子数目满足:所以,高温时,声子数目与温度成正比,从而导致声子的平均自由程随温度升高而变小,即T-1。我们知道在高温时,也就是温度远高于德拜温度时,晶格比热容CV是一个与温度无关的常数。因此T>>ΘD时，晶格的热导率随温度的升高而变小，满足T-1。所以，声子数目随温度的升高成指数规律变小，从而导致声子的平均自由程随温度升高而成指数规律变大，即eA/T。低温下，T<<ΘD时，声子数目满足此外，