第41讲+数列不等式的证明方法-高中数学常见题型解法归纳反馈训练+Word版含解析

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1、高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第41讲:数列不等式的证明方法【知识要点】证明数列不等式常用的有数学归纳法、放缩法和分析法.一、数学归纳法-般地，证明一个与自然数斤有关的命题PG）,有如下步骤:（1）证明当兀取第一个值如时命题成立.如对于一般数列取值为0或1,但也有特殊情况；（2）假设当n=k（R3心,£为自然数）时命题成立，证明当刃=£+1时命题也成立.综合（1）（2）,对一切自然数斤（723如），命题戶⑺）都成立.二、放缩法证明不等式吋，有吋根据需要把需证明的不等式的值适当放大或缩小，使其化繁为简，化难为易，达到证明的目

2、的，这种方法称为放缩法.放缩的技巧：①添加或舍去一些项，如：+1>a,J〃（〃+l）>仏一1—-—=-一一—k~£伙一1）k-kk~£仗+1）k£+1③利用基本不等式等，女口：J/7（/7+l）

3、要证明，只需证明……”.一般用分析法寻找思路，用综合法写出证明过程.【方法点评】方法一数学归纳法解题步骤一般按照数学归纳法的“两步一结论”步骤来证明.【例1】用数学归纳法证明:【证明】（1）当n-2时，1+1-1414?242413>—24命题成立.2+12+2（2）假设当刃=剧寸，111++1-+…+——13>—成立fc+123!2k2414n—1-11111—fc+1时,-++…+——++—・..+丄>匕(/?>2,/igaT)71+171+2n+32n24232上2fc+l2fc+2111+111■■亠J_1111k+l

4、k+23TrT2k2/c+121c+2fc+113111*N十2fc+l+2fc+2fc+12Jt+l+2Jt+2_I+l=2<2Jt+lX^+l)>0111113+++■—FA住+1)+1(k+Y)+2住+1)+32(k+V)24当幵=上十1时命题成立.所以对于任意刃X2/eN•都成立.【点评】利用数学归纳法证明不等式时，关键在于第二步，证明这一步时，一定要利用前面的假设和已知条件.【反馈检测1】已知（兀+1）”=a。+Q]（兀_1）+色（兀_1）2+…+&“（兀_1）”，（其中flWN）（1）求绳及Sn=d[+色+…+5；

5、（2）试比较为与（/i-2）-2n+2/r的大小，并说明理由.方法二放缩法解题步骤一般放缩数列通项，或放缩求和的结果.【例2】己知函数f(x)=ax-ln(l+x2)4(1)当。=—时，求函数/(Q在(0,+oo)上的极值；5(2)证明：当兀>0时，ln(l+%2)2,e为自然对数的底数).23n【解析】(1)当4=扌日寸，/«=^-10(1+^)_4_2x~5~l+x24/一10兀+斗5(1+/)X3f(xf(x)变化如下表X12、討2(2,-Ko)f(

6、x)+0—0+/极大值X极小值Zi_hi(2)令g(x)=x-ln(l+x2)nl、丫、$2X(X—1)~、八KIJ,(x)=i-__=__>0•••g(兀)在(0，+oo)上为增函数••••g(x)>g(0)=0aln(l+x2)

7、等式，是高考的难点和重点.（2）利用放缩法证明不等式，有时需要放缩通项，有时是需要放缩求和的结果，本题两种放缩都用上了・（3）放缩要得当，所以放的度很重要,有吋需要把每一项都放缩，有吋需要把前面两项不放缩，后面的都放缩，有时需要把后面的项不放缩，所以要灵活调整，以达到证明的目的.【反馈检测2］已知数列（an｝满足2坷+2?色+…+2”〜二（2〃一1）•2,,+1+2・（1）求q及通项公式色；（2）求证：丄+A+…+丄V丄.彳疋a24【反馈检测3】将正整数按如图的规律排列,把第一行数1,2,5,10,17,记为数列101118■

8、•—21・•第一列数1,4,9,16,25,记为数列｛b〃X皿皿）4—36I16—15—14—B25—24—2J—229—8—7（1）写出数列cin｝,｛$｝的通项公式；（2）若数列｛an｝,｛亿｝的前n项和分别为S「T“,用数学归纳法证明：3（Tfl+Sn）=2n3+4n