【测控设计】高二数学人教A版选修4-5同步练习：113三个正数的算术-几何平均不等式

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1、3•三个正数的算术-几何平均不等式A组1.已知x+2y4-3z=6,则2A+4v+8~的最小值为（）A.3厂B.2、厂C.12D.12、厂解析：：・：2丫+¥+&=2”+2即+2?空3J--=3=3x4=12.当且仅当2j=22>=23即x=2』=l,z=时，等号成立.答案:C2.设Q0WR+,且a+b=3,则a//2的最大值为（）A.2B.3C.4D.6解析：：如—4小一-O3W4=4=4xp=4,当且仅当a-=1时，等号成立.・：。圧的最大值为4.答案:C3.若logj=-2,则x+y的最小值是（）解析：

2、：*logj=・2,:兀>0,且x^,y>0,且y=x'2.：工+尹=兀+才2=当且仅当，即x=J_时，等号成立.答案:A4•若/7>0,则卄的最小值为（）A.2B.4C.6D.8解析：：'〃+,—--—、I-~-当且仅当一,即时等号成二•：”+337=6答案:C5.设x>0,则x2+~>.解析：:士>0,.：/+=,+•■•23勺=3.当且仅当即x=l时，等号成立.・：/+一23.答案：36.已知a>0,/?>0,c>0,且a+b+c=l,证明下列不等式:(l)abcW;(2)/+沪+(?$;(3)ab+bc+

3、caW.证明:⑴：'a,b,c丘(0,+oc),•:1F+b+cNS、—,•：04-c)2=a2+*2+c2+2^+26c+2ca24-c2+(a2+*2)+(62+?)+(?+a2)=3(a2+Z>2+c2),・：/+圧+/$，当且仅当a=b=c=时，等号成立.⑶丁，2=2(a+b+c)2=(/+F)+(方，+(?2)+((?+/)+467〃+4/疋+4(?。22亦+2处+2”+4£7〃+4加+4(?。=6(。方+〃c+cq),.•

4、.ab+bc+caW，当且仅当a=b=时，等号成立.7.已矢口a,b,c同号，且互不相等,a+b+c=l,求证__->9.证明:—--=3+:'d0,c同号，且a+b+c=l,・：d>O0>O,c>O.・・・均大于0.又a,b,c互不相等，・：3+>3+6」=9.・：一-->9.5.设g】,Q2,・・・,Q“为正实数，求证+•••+…22、厂.证明：：‘Qi,Q2,…,Q"为正实数,・：+・•・+N讥…=加1°2…％当且仅当Q1=G2=・・・=Q“时，等号成立.1zn1n又〃0疋2…Q“+…22丁~,当且仅当加⑷…

5、a“=…时，等号成立，・：+・・・+22a/~.B组1.若a>b>0,则q+(・)的最小值为()A.OB」C.2D.3解析：：力+(-)=(a")+b+(-)$=3)(_)=3,当且仅当a=2,b=l时取等号，.：a+(-的最小值为3.答案:D2•已知圆柱的轴截面周长为6,体积为7,则下列不等式正确的是（）A.72兀BWWtcC.心—兀D.7W—兀解析:如图，设圆柱的半径为R,高为九则4R+2h=6,即2R+h=3.y=S•h=兀斤•h=wR，R•hWit=兀,当且仅当R=R=h=l时，等号成立.答案:B3•若实

6、数xfy满足xy>0,且#y=2,则心+H的最小值为.解析：：xy>0^2y>0f，:号+,=xy+xy+x2r~r~M3=3=3,当且仅当_xy=x2,即y=2x时，等号成立.答案：34己知实数o0,cWR,d+b+c=l,求4：+4〃+的最牛值，并求出取最小值时a,b,c的值.解:由基本不等式，得4“+4〃+M3」••=3（当且仅当a=b=c2时,等号成立）.：'a+b+c=l,・：d+b=l-c.则a+b+c2=c2_c+l="-一，当c=时,a+b+c?取得最小值.从而当a=b=,c=时,4"+4”+

7、取最小值，最小值为3厂.5•有一块边长为36cm的正三角形铁皮，从它的三个角上剪下三个全等的四边形后做成一个无盖的正三棱柱容器，要使这个容器的容积最大，剪下的三个四边形面积之和等于多少?最大容积是多少？解:剪下的三个全等的四边形如图所示，设AF=xcm,则AF=^Txcm,・、B=FF2=(36-2T)cm.匸r2/.V=(36-2Vx)2x=.x)(6T-x2x.：00.又(6/-K+(6T-x)+2x=12a/~,・：当6a/-x=2x,即x=2T时,7有最大

8、值，这吋V•(4‘)3=864(cm3).…四边形■=兀・、厂=厂2=12厂(cm2),.：三个四边形面积之和等于36a/cm2.