线性方程组的直接解法（5）

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1、第五章线性方程组的直接解法线性方程组的求解是一个经常碰到的问题。尽管对线性方程组的解法，从理论上讲已经得到了满意的结论，已经知道线性方程组有解的充分必要条件及解的结构。然而对大型问题（即未知数的个数及方程的个数都很大），即便知道线性方程组是有解的情况下，要做到真正求出其解不是件容易的事。我们在第一章中讲到如果按Cramer法则去求解，而用到的行列式按定义去计算，则即便是未知元个数不太多的悄况下（如n二20）也是耗时惊人的（约20万年，假如计算机的运算速度是1亿/秒）。如今上千阶的方程组也不鲜见，故提供快速有效的算法是必须的。一般来说线性方程线

2、的解法分成二大类：直接法和迭代法。本章我们主要介绍直接法；直接法的稳定问题；方程组的病态问题；分析方程组出现的病态的原因。所谓直接法，从理论上讲，只需经过有限次运算就能得到精确解的方法。§1.Gauss消元法为了对Gauss消元法有一个感性认识，我们从例子出发，來说明此方法的推算过程：4X（一9x2+2x3=5例：求解：《2X]-4x?+6x3=3xt-x2+3x3=4解：Gauss消元法的第一步是消去第二、三个方程的未知元X】。通过在第一个方程分21别乘-一,-一加到第二及第三个方程得：444X]—9x2+2X3=50.5X?+5x3=0.

3、51.25x2+2.5X3=2.75然后进行第二次消元，消去第三个方程中的未知元X2,通过在第二个方程上乘以1-上仝加到第三个方程，得：0.54xt一9x2+2X3=50.5x2+5x3=0.5-10x3=1.5这样得到一个下三角方程，然后通过一个回代，解出未知元。即从第三个方程解出X3=-0.15,第二个方程解出x2=2.5,从第一个方程解出Xj=6.95下面针对一般情况给出Gauss消元法的计算与步骤,%X]+a12x2+•••+alnxn=b,a2lXl+a22X2+…+a2nXn=^2设方程组为:(1—1)lanlXl+an2X2+•

4、••+annXn=bn(1)all•••a(i厂aln_xJ■■d21•••a2nX2■•=b?)■■q⑴Lanl•••q⑴^nn_■_XnJ•简记为A⑴x二b⑴如果咄)H0,则可进行第一次消元，记1订=为便丁-说明把它写成矩阵形式:在第二行上乘以1订与第i行相减得(i=2,…,n)其中：=a『-li

5、a「,i,j=2,...,n；如果遐)H0可进行第二次消元，记-(i=3,---,n),在第二行上乘以G与第;(1)all•••a(i)aln_xl'「bp]0•••車2)a2nX2■•=b$)■■0•••q⑵^nn■_Xn_■简记为A⑵x=

6、b⑵i行相减得(i=3,…,n)：;⑴alla!2p⑴a13•••a⑴—ain「X]训厂0J2)a22a23•••X2b<2)0■0••q⑶a33■■•••••X3■•=b$)■••0•0■••••q⑶°nn••简记为A⑶x=只3)其中：a『胡j2)—存畀i,j=3,…,n,M3)=b<2)-li2b<2)i=3,---,n如此下去，设已进行了k・l次消元过程,得到与原方程组等价的方程为:dll0■■q(l)d12a22••••••dln升⑵a2n•0•■■■0••••♦•jk)...dkk••••••q(k)d

7、

8、)ann如果涎)hO,则可进行第k次消元,X1X2■■Xk■■b；°b$)，简记为A(k)x=b(k)Xn在第k行乘以hk与第i行相减得(匸k+1,…,n)_a；?q⑴dl2…a⑴dlka⑴•aik+lJk)••a】n■■■■X

9、a22■•q(2)••#a2k■■a⑵•a2k+l■■q(2)•*a2n■■X2■■•■■•八k)akk•a(k)•dkk+1■a(k)••akn■Xk=■冊)0■•q(k+l)dk+lk+1■■…dk+l,n■■Xk-I•■b脖)•■0■久(k+1)dnk+l•...a(k+,)nn■•Xn■■简记为：A(k+I)

10、x=b(k+,)其中：曙1)=3常)-1罔)i,j=k+1,…,n；昭)=屮)—虹時i=k+1,…,n我们称为主元素，如果a：：)(i=l,2,・・・，n-l)都不会零，那么线性方程组经过n・l次消元可化为一个下三角方程组，即：A(n)x=b(n)址）a⑴…dI2•讦)[■br_a⑵…d22■・a⑺d2n■b(n)=■■■•■•q(n)dnnJ阴其中:A(n)最后再通过一个冋代过程，即由最后一个方程解出£，最后第二方程解出£十，第一个方程解出x,o它们间关系为：Xk=（時-£a；；）Xj）/啾（5…,1）j=k+l/上面介绍的方法称为Gaus

11、s方法，其乘除总运算量为丄n3+n2-In.在n=20时,33不到一秒即能算出结果。下面是其运算框图：输出x（i）停止i=l,…,n注：在实际编程时，可把变量h换成