大连理工大学《工科数学分析基础》级数复习

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1、第九讲无穷级数9.1级数的知识框架9.1.1级数的概念与性质81.“[+"2+如+…=工知叫做无穷级数n=l2.片=yw,称为部分和，若lim片OO称无穷级数为知收敛/?=!3•性质1)工知收敛到则工kun收敛到上$.n=ln=l88OO2)v“收敛到则级数工(知士儿J收敛到s±(y./:=!n=/:=!3)在级数屮去掉，加上或改变有限项，不会改变级数的收敛性.4)如果级数工知收敛,则对这级数的项任意加括号后所成的级数n=l(旳+•••+知)+(叫+1+•••+%)+•••+(%”+•••+%)+•••⑷仍收敛，且其和不变.5)Zn=

2、知收敛，则lim血口T8=0.9.1.2数项级数'大收=小收，小发n大发极限形式1・正项级数<比值法：恤经•=q,gv1收，q>l发、”an根植法：lim甄ijvl收，/>1发积分法：『f(x)dx,Xf(n)同时敛散2.任意项级数2任意项级数绝对收敛，条件收敛柯西收敛准则9.1.3函数项级数收敛半径内绝对收敛逐项可微“t也+』1.幕级数求和和函数在收敛域内连续，逐项可积,函数展开成幕级数2.付氏级数狄利克雷收敛定理要求总体理解概念，重点掌握幕级数9.2例题例1判别下列说法正确与否1）数列｛%｝与级数工①同吋收敛或同吋发散；//=1o

3、ooooo2）£色收敛，£仇发散，则£（匕+仇）发散;n=ln==88OO3）丫色发散，工仇发散，则工g+仇）发散;n=l/?=!/?=!4）工X收敛，工乞收敛，则丫（色仇）收敛;71=1/；=!7?=15）工色发散，工仇发散，则工（％仇）发散;n=l//=!”=16）工色收敛’则工尤收敛;71=1,1=17）工Q；收敛，则工色收敛;n=l//=!8)工色收敛,勺〜仇，贝®收敛;/

4、=1/

5、=19)2乞必‘£比收敛，则£（©+仇）收敛。/：=!71=1/1=11)a„=-错；2)对；3)an=-错;4)色二(一1)"丄,伉nnrt

6、Qn=(-1)详Qn错；(5)an——ybn——错；(6)cin—(―l)/?—/=错;(7)a”=—错;nnyjnn(8)G”=(—1)”芈0”=(—1)”芈+丄错；(9)05(色+仇)*2(盗+时)例2选择题OO1）设工Q”为正项级数，下面结论正确的是//=!(A)8若工Q”收敛，则PN>0,当n>N时,n=l(B)OO若工匕发散，则日">0,当〃>N时,n=l如L>1；an(C)若37V>0,当n>N时，色屮a<1,nco则为色收敛;n=l(D)若3/V>0,当,2>N时，如5则£%发散;/:=!解选D（A）反例，吹爲一卄1(2x

7、1)2""i(271+1)2=1当/!为奇数时如

8、暫—I—⑵7—I）21（2斤+3）〜<1；⑹反例％=丄,n—<1,ann+1反例（B）2）设£色收敛n=l(A)则hmnan=0；NT8(B)又设当斤一>8时,%〜仇，则刀仇收敛。(C)又设工

9、如收敛，则E

10、anbn

11、ft敛。D)设场收敛,则&0”收敛。解C(T)"(A)反例a”=—,(B)见例1(8)；(D)见例1(4)n(C)a”一>0,3N,当n>N时,an

12、<

13、bn3)设&:收敛,则刀(-1)"色(A)绝对收敛；(B)条件收敛；(C)发散；(D)不定。解(D

14、)(A)反例an=(-l)n-f(B)同(A)；(C)反例尤=乙nn3)级数£(—1)"2"勺收敛，则级数工色/

15、=1(A)发散；(B)条件收敛；(C)绝对收敛；(D)敛散性不定。oo解（C）因工（一1）"2%〃收敛，lim（—l）”2”％=0,mN当n>N时,W=1

16、2^„

17、<1=>

18、^

19、<^,当硝收敛，所以工

20、色

21、收敛。例3判別下列级数的敛散性(正项级数)1.81n=i+18zn=l11+q"8；3.arctann=;4.i、”2/1+3d+2丿6.1、〃丿；7.__](略)=(仮一arctan頁月—一arctanna/x-a

22、rctany[x—x2◎眾加严胡(1-亓严十吨+观(1)注意比较极限形式；(2)会用无穷小等价分析；(3)放大法常用。例4判别级数的敛散性，是绝对收敛还是条件收敛1.y(~1)M解令f(x)=x-lnx(x>2),/(x)=l-->0,/G)单增，即一—单减。xn-Inz?又lim—!—=0,由莱布尼兹收敛法，原级数收敛。“too又工一-—发散，理由一-—>丄，故原级数收敛。n-lnnn-Innn解因为1%冃(-If1r1—^

23、

24、(抽象级数的敛散性)(1)已知/(兀)于［1,+°°)上连续，单减,且］imf(x)=0,记un=f(ri)®8+［证明f(x)dx］收敛,且其和5

25、訂f(x)d