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1、数学准备知识§1矢量代数—•矢量定义A=A^A=A,A=-A（单位矢量）在坐标系中直角系/=1A=Aj+Aj+Azk方向余弦:Azcosy=—,A—=cosaex+cos/3ey+cosye.AxCOS(7=—,A二.矢量运算加法：A+B=B^A(A+B)+C=A+(B+C)交换律结合律满足平行四边形法则3标量积：AB=^AiBj=ABcos0i=AB=BAA(B+C)=AB+AC交换律分配律矢量积:AxB=ABsinden—AB?24b2混合积:Ax(B+C)=AxB+AxCAxB=-BxA分配律不桦交燥律人
2、A(BxC)=B(CxA)=C-(AxB)=B}B2B3双重矢积：Ax(BxC)=B(AC)-C(AB)=(A-C)B-(AB)C(点3乘2,点2乘3)Ax(BxC)(AxB)xC三.矢量微分dA；dA.dA——=A——+A——dtdtdtd(2V)7dBdAE=A-dtd(入xB)~dt-弘血+退為dtdt四.并矢与张量并矢：方丘（一般ABBA）,有九个分量。若某个量有九个分量，它被称为张量亍=忑=士4B隔=±T碎)••4••2=1W曙j为单位并矢，张量的九个基。单位张量:矢量与张量的矩阵表示：2二yAE，4=A
3、,或=A2,A3）4丿一一〔即i=AB=(4,A,,AJ=4冋+A,B°+&B?Q00、Z=010<001,张量运算：亍+4工（％+岭疋百fjABC=A（BC）=A（CB）=ACB与矢量点乘：=(CB)A=CBA=(BC)A=BCACAB=(CA)B=B(CA)=B(AC)=BAC与矢量叉乘：2并矢并欠ABxC=A(BxC)CxAB=(CxA)B两并矢点乘：>4B（CD）=A（BC）D=A（BC）AD^CDAB（并矢）两并矢二次点乘：y4B:CD=（BC）（AD）标量与单位张量点乘：£C=C1=C（AB=AB（=
4、AB—>—♦—>—#（:AB=AB课堂练习（15-20分钟）1.计算仏+A）x（2—片）（=2（BxA）j2.求证，M=b（a-c）-a[b-c）与矢量C垂直。（求M-C）.3.计算下列各式：(1)a-(axb)(0,(2)ax(b'xa)(3)(jxz)•£(4)xz)•/a2b-a(ab),—1,1)4.证明下列各式：(1)(axb)-(c-d)=(axc)(bJ)-(3xd)(b•c)(2)dx(bxc)+bx(cxa)-^cx(axb)=O证：(1)酥琢⑹Q卫亦•两烦ix»)i=(c•a)(d•b)-(c•
5、b)(d-a)⑵互痂痂硒X©X砂古超@x/)=(3•c)b-(ab)c^-(b-a)c一(b•c)a+(c•h)a-(c•a)h=0§2.场的概念和标量场的梯度一、场的概念：描述一定空间屮连续分布的物质对象的物理量。或说：若在一定空间中的每一点，都对应着某个物理暈的确定值，就说在这空间屮确定了该物理的场。如：强度场、速度场、引力场、电磁场。描述场用一个空间中和时间坐标的函数：J标量场卩（兀,y,z,/）=0（元,/）j矢量场入（x,y,z,/）=A（x,t）当％A与/无关时称为稳恒场（稳定场、静场），有关则称为变化
6、场（时变场）。当己知场函数则可以了解场的各种性质：如©2随时空的变化关系（梯、散、旋度）。同样已知梯、散、旋度场函数可以确定场函数（以后主要讨论的问题）。二、标量场的梯度在M,AT两点全微分：〃0=学必+学dy+2纟血axdydz—ed（=dxex+dyey+dze2d(p=(p・dP=¥(p・(T0一d一d一deee—■vdxydy2dzd(p~df.cUcUd?方向上的单位矢量）=P(Pcos0（&为V。与〃7之间的夹角）在M点方向上导致有无穷多个，其中有一个最大，即定义梯度gradcp=意义：空间某点上标量场
7、函数的最大变化率，刻画了标量场的空间分布特征。已知梯度即可求出0沿任一方向的方向导致。等值面：（p（x）=常数的曲面称为等值面。梯度与等值面的关系：梯度丄等值面。证：对等值面上一点，沿等值的方向导数为零。1T即COS0的&为一，所以V0与等值而垂直。三、矢量微分算子V（直角坐标系中的表示形式）具有矢量性质，分量是微分符号。—PpPkPxdxydy2dz3唸+證+遵'T，不能互换它可以作用在矢量上，可以作点乘、叉乘。V-/4Ld一d一d)Ixdxdy2dz)(dAzLdy•（也+也+叭）二示+石匸~)e>dz34D
8、A?dz)dx)+e:dyJeyJaaa—dxdydz444四、举例iz（1）求半径7的数值厂=同=（兀一F），+（y-y'）2+（z-z'）2$的梯度。此例屮P,P点均可变动。一般称P为源点（一后电场屮电荷所在点）。P为场点（观测点）。解:固有两个变量（兀,y,z）和（X.y,z）我们可求W和W.•^=n.2(x-/)=^ox2rr_z—zr+ez=—rr
