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1、--基本初等函数求导公式(1)(C)0(2)(x)x1(3)(sinx)cosx(4)(cosx)sinx(5)(tanx)sec2x(6)(cotx)csc2x(7)(secx)secxtanx(8)(cscx)cscxcotx(9)(ax)axlna(10)(ex)ex(loga1(lnx)1x)x，(11)xlna(12)(arcsinx)1(arccosx)1x2x2(13)1(14)1(arctanx)1(arccot12x)x2(15)1x(16)1函数的和、差、积、商的求导法则-----设uu(x)，vv(
2、x)都可导，则（1）(uv)uv（2）（3）(uv)uvuv（4）反函数求导法则(Cu)Cu（C是常数）uuvuvvv2-----若函数x(y)在某区间Iy内可导、单调且(y)0，则它的反函数yf(x)在对应区间Ix内也可导，且dy11dxdxf(x)dy(y)或-----复合函数求导法则-----1-----设yf(u)，而u(x)且f(u)及(x)都可导，则复合函数yf[(x)]的导数为dydydudxdudx或yf(u)(x)２.双曲函数与反双曲函数的导数.双曲函数与反双曲函数都是初等函数，它们的导数都可以用前面
3、的求导公式和求导法则求出．可以推出下表列出的公式：1(thx)2x(shx)chx(chx)shxch(arshx)111(archx)x21(arthx)21x21x一、一个方程的情形在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念，并且指出了不经过显化直接由方程f(x,y)=0(1)求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理，并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式.隐函数存在定理1设函数F(x,y)在点P(x0,y0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0)0，,Fy(x0,y0)0，则方程F(x,
4、y)=0在点(x0,y0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续导数的函数yf(x)，它满足条件y0f(x0)，并有dyFxdxFy(2)公式（2）就是隐函数的求导公式这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。-----将方程(1)所确定的函数yf(x)代入，得恒等式-----2-----F(x,f(x))0,其左端可以看作是x的一个复合函数，求这个函数的全导数，由于恒等式两端求导后仍然恒等，即得FFdyx0,ydx由于Fy连续，且Fy(x0,y0)0，所以存在(x0,y0)的一个邻域，在这个邻域内Fy0，于
5、是得dyFx.dxFy如果F(x,y)的二阶偏导数也都连续，我们可以把等式(2)的两端看作x的复合函数而再一次求导，即得d2yFxFxdydx2xFyyFydxFxxFyFyzFxFxyFyFyyFxFxFy2Fy2FyFxxFy22FxyFxFyFyyFx2Fy3.例1验证方程x2y210在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，y1的隐函数yf(x)，并求这函数的一阶和二阶导数在x=0的值。解设F(x,y)x2y21，则Fx2x,Fy2y,F(0,1)0,Fy(0,1)20.因此由定理1可
6、知，方程x2y210在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导数、当x=0时，y1的隐函数yf(x)。下面求这函数的一阶和二阶导数dyFxxdy0dxFyy，dxx=0;x-----d2yyxyyx(y)y2x21dx2y2y2y3y3,=d2y1dx2x0。-----3-----隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函数，那末一个三元方程F(x,y,z)=0(3)就有可能确定一个二元隐函数。与定理1一样，我们同样可以由三元函数F(x,y,z)的性质来断定由方程F(x,y,
7、z)=0所确定的二元函数z=(x,y)的存在，以及这个函数的性质。这就是下面的定理。隐函数存在定理2设函数F(x,y,z)在点P(x0,y0,z0)的某一邻域内具有连续的偏导数，且F(x0,y0,z0)0，Fz(x0,y0,z0)0，则方程F(x,y,z)=0在点(x0,y0,z0)的某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数zf(x,y)，它满足条件z0f(x0,y0)，并有zFxzFyx=Fz,y=Fz.(4)这个定理我们不证.与定理1类似，仅就公式(4)作如下推导.由于F(x,y,f(x,y))≡0,
8、将上式两端分别对x和y求导，应用复合函数求导法则得zzFx+Fzx=0,Fy+Fzy=0。因为Fz连续，且Fz(x0,y0,z0)0,所以存在点(x0,y0,z0)的一个邻域，在这个邻域内Fz≠0，于是得zFxzFyx=Fz,y=Fz。2z例2设x2y2z24z0，求x2.解设F(x,y,z)=x2y2z24z，则F
