3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法

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1、第三章一阶微分方程的解的存在定理问题的提出：在前一章，我们介绍了能用初等方法求解的一阶方程的几种类型，但同时指出，大量的一阶微分方程是不能用初等方法求出其通解的．另一方面，实际问题所需要的往往是要求满足某种初始条件的解．因此现在我们把注意力集中在Cauchy问题的求解上．与代数方程类似，对于不能用初等方法求解的微分方程，我们往往用数值法求解（以后会学到的计算方法课程内容之一）．在用数值法求Cauchy问题解之前，需要在理论上先解决下面两个基本问题：需解决的问题§3.1解的存在唯一性定理与逐步逼近法3.1.1存在唯一性定理一、定理1考虑初值问题

2、证明思路(2)构造(3.3)近似解函数列(1)初值问题(3.1)的解等价于积分方程的连续解.(逐步求(3.3)的解,Picard逐步逼近法)由于即下面分五个命题来证明定理,为此先给出积分方程的解如果一个数学关系式中含有定积分符号且在定积分符号下含有未知函数,则称这样的关系式为积分方程.积分方程命题1初值问题(3.1)等价于积分方程证明即反之故对上式两边求导,得且构造Picard逐步逼近函数列问题:这样构造的函数列是否行得通,即上述的积分是否有意义?注:命题2证明(用数学归纳法)证明考虑函数项级数它的前n项部分和为命题3对级数(3.9)的通项进行

3、估计于是由数学归纳法得知,对所有正整数n,有现设命题4证明即命题5证明由综合命题1—5得到存在唯一性定理的证明.一、定理1考虑初值问题命题1初值问题(3.1)等价于积分方程命题2命题3命题4命题5二、存在唯一性定理的说明为了保证方程(3.1)的初值解的唯一性，较为著名的常用的充要条件就是定理3.1中所给的Lipschitz条件.但这个条件却并非必要的！例1试证方程经过xOy平面上任一点的解都是唯一的.证明故其通解为但是，我们有从而方程的右端函数在y=0的任何领域上并不满足Lipschitz条件这个例子说明Lipschitz条件并不是保证初值解唯

4、一的必要条件．三、一阶隐方程解存在唯一性定理定理2考虑一阶隐方程则方程(3.5)存在唯一解满足初始条件3.1.2近似计算和误差估计求方程近似解的方法---Picard逐步逼近法,这里注(3.19)式可用数学归纳法证明则例2讨论初值问题解的存在唯一区间,并求在此区间上与真正解的误差不超解由于由(3.19)例3求初值问题解的存在唯一区间.解例4利用Picard迭代法求初值问题的解.解与初值问题等价的积分方程为其迭代序列分别为取极限得即初值问题的解为作业P881,3,4,8(思考)