四2012年考研数学春季基础班线性代数讲义(汤家凤)

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1、第一讲行列式一、基本概念定义1逆序—设是一对不等的正整数，若，则称为一对逆序。定义2逆序数—设是的一个排列，该排列所含的逆序总数称为该排列的逆序数，记为，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。定义3行列式—由个数组成的下列记号称为阶行列式，规定。定义4余子式与代数余子式—把行列式中元素所在的行元素和列元素去掉，剩下的行和列元素按照元素原来的排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，称为元素的代数余子式。二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如，称为对角行列式，对角行列式等于其对角线上元素之积

2、。2、上（下）三角行列式—称及为上三角行列式和下三角行列式，它们都等于主对角线上的元素之积。3、范得蒙行列式—形如称为阶范得蒙行列式，且17。三、行列式的性质（一）把行列式转化为特殊行列式的性质1、行列式与其转置行列式相等，即。2、对调两行（或列）行列式改变符号。3、行列式某行（或列）有公因子可以提取到行列式的外面。推论：（1）行列式某行（或列）元素全为零，则该行列式为零。（2）行列式某两行（或列）相同，行列式为零。（3）行列式某两行（或列）元素对应成比例，行列式为零。4、行列式的某行（或列）的每个元素皆为两数之和时，行列

3、式可分解为两个行列式，即。5、行列式的某行（或列）的倍数加到另一行（或列），行列式不变，即，其中为任意常数。（二）行列式降阶的性质6、行列式等于行列式某行（或列）元素与其对应的代数余子式之积的和，即，。7、行列式的某行（或列）元素与另一行（或列）元素的代数余子式之积的和为零。四、行列式的应用—克莱姆法则对方程组（）及17（）其中称为非齐方程组，称为对应的齐次方程组或的导出方程组。令，其中称为系数行列式，我们有定理1只有零解的充分必要条件是；有非零解（或者有无穷多个解）的充分必要条件是。定理2有唯一解的充分必要条件是，且；当

4、时，要么无解，要么有无穷多个解。例题部分1、计算行列式（答案：）2、设，求（1）；（2）。3、设为4维列向量,且，，求。4、计算，其中。17第二讲矩阵一、基本概念及其运算1、矩阵—形如称为行列的矩阵，记为，行数与列数相等的矩阵称为方阵，元素全为零的矩阵称为零矩阵。（1）若矩阵中所有元素都为零，该矩阵称为零矩阵，记为。（2）对，若，称为阶方阵。（3）称为单位矩阵。（4）同型矩阵及矩阵相等—若两个矩阵行数与列数相同，称两个矩阵为同型矩阵，若两个矩阵为同型矩阵，且对应元素相同，称两个矩阵相等。2、对称矩阵—设，若，称为对称矩阵。

5、4、转置矩阵—设，记，称为矩阵的转置矩阵。5、伴随矩阵—设为矩阵，将矩阵中的第行和列去掉，余下的元素按照原来的元素排列次序构成的阶行列式，称为元素的余子式，记为，同时称为元素的代数余子式，这样矩阵中的每一个元素都有自己的代数余子式，记，称为矩阵的伴随矩阵。6、矩阵的四则运算（1）矩阵加减法—设，，则17。（2）矩阵乘法1）数与矩阵的乘法—设，则。2）矩阵与矩阵的乘法：设，，则，其中（）。[注解]（1）推不出，如，。（2）。（3）矩阵多项式可进行因式分解的充分必要条件是矩阵乘法可交换。若，则，再如。（4）方程组的三种形式形式

6、一：方程组的基本形式（）与（），（）（）分别称为齐次与非齐线性方程组。17记则方程组（）、（）可改写为形式二：方程组的矩阵形式，（），（）令，则有形式三：方程组的向量形式（）（）二、矩阵的逆阵（一）逆阵问题的产生对一元一次方程，其解有如下几种情况：（1）当时，两边乘以得。（2）当时，方程的解为一切实数。（3）当时，方程无解。设为阶矩阵，对方程组，若存在阶矩阵，使得，则在方程组两边左乘，得，于是。（二）逆矩阵的定义设为阶矩阵，若存在，使得，称可逆，称为的逆矩阵，记为。（三）两个问题问题1设为阶矩阵，何时可逆？问题2若可逆，如

7、何求？（四）逆阵存在的充分必要条件定理设为阶矩阵，则矩阵可逆的充分必要条件是。（五）逆阵的求法（1）方法一：伴随矩阵法。（2）初等变换法。17（六）初等变换法求逆阵的思想体系第一步，方程组的三种同解变形（1）对调两个方程；（2）某个方程两边同乘以非零常数；（3）某个方程的倍数加到另一个方程，以上三种变形称为方程组的三种同解变形。第二步，矩阵的三种初等行变换（1）对调矩阵的两行；（2）矩阵的某行乘以非零常数倍；（3）矩阵某行的倍数加到另一行，以上三种变换称为矩阵的三种初等行变换。若对矩阵的列进行以上三种变换，称为矩阵的初等列

8、变换，矩阵的初等行变换和初等列变换统称为矩阵的初等变换。第三步，三个初等矩阵及性质1、—将的第行与第行或者单位矩阵的第列与第列对调所得到的矩阵，如。性质：1）；1）；3）即为矩阵的第行与第行对调，即为矩阵的第列与第列对调，即是对进行第一种初等行变换，是对进行第一种初等列变换。2、—将的第行乘以非零常数或