复变函数与积分变换第1章复数与复变函数

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1、第1章复数与复变函数在一些理论和实际问题中，有许多几何量与物理量，如果用复数作为变量去刻画，则在研究过程中比较方便，在18世纪，数学家J.D’Alembert与L.Euler等人逐步阐明了复数的几何意义和物理意义，并应用复数和复变函数研究了流体力学等方面的一些问题.在本章中，首先介绍复数的有关知识，然后再引入复平面点集、复变函数以及复变函数的极限与连续等概念.1.1复数1.1.1复数域形如的数称为复数，其中x和y是任意的实数，分别称为复数z的实部与虚部，记作x=Rez，y=lmz；而i(也可记为)称为纯虚数单位.当I

2、mz=0时，z=Rez可视为实数；而当Rez=0,Imz≠0时，z称为纯虚数；特别地，当Rez=Imz=0时，记z=0+i0=0.两个复数z1,z2满足时，称这两个复数相等，记为对任意两个复数其四则运算定义如下:容易验证加法与乘法满足①交换律：②结合律：③分配律：全体复数构成的集合在引进上述加法和乘法运算后称为复数域，用符号表示.与实数域不同的是，复数域里的数没有大小之分，但可以证明在实数域内成立的一切代数恒等式在复数域内仍成立，例如：1.1.2复平面、复数的模与辐角由于一个复数z=x+iy可以由有序实数对(x

3、,y)唯一确定，而有序实数对(x,y)与平面直角坐标系xOy中的点一一对应，因此可以用坐标为(x,y)的点P来表示复数z=x+iy(图1.1)，此时x轴上的点与实数对应，称x轴为实轴，y轴上的点（除原点外）与纯虚数对应，称y轴为虚轴.像这样表示复数的平面称为复平面，或按照表示复数的字母是z,w,…,而称为z平面、w平面，等等.图1.1如图1.1所示，复数z=x+iy还可以用向量来表示，x与y分别是向量在x轴与y轴上的投影.这样，复数z就与平面上的向量建立了一一对应的关系.引进了复平面后，为方便起见，“复数z”、“点z

4、”及“向量”三者不再区分.向量的长度称为复数z=x+iy的模或绝对值，记作

5、z

6、，于是显然｜z｜=0的充要条件是z=0.当点P不是原点，即复数z≠0时，向量与x轴正向的夹角称为复数z的辐角，记作Argz.辐角的符号规定为：由正实轴依反时针方向转到为正，依顺时针方向转到为负.显然一个非零复数z的辐角有无穷多个值，它们相差2π的整数倍，但Argz中只有一个值θ0满足条件-π＜θ0≤π，称θ0为复数z的主辐角，记为θ0=argz（以后也把Argz中任一确定的值记为argz），于是当z=0时，z的辐角没有意义.由图1.1易知

7、：复数z=x+iy(≠0)的主辐角argz与反正切的主值有以下关系:由直角坐标与极坐标的关系可知（图1.1），非零有穷复数z可以用其模r=

8、z

9、与辐角θ来表示，即利用欧拉公式得由式（1.3）及复数的运算容易证明分别称式（1.2）和式（1.4）为非零复数z的三角表示式和指数表示式，相应地称为式(1.1)复数z的代数表示式.复数z的这三种表示式可以互相转化，以方便讨论不同问题时的需要.例1.1将化为三角表示式和指数表示式.解,因为z在第I象限，所以故z的三角表示式为；z的指数表示式为例1.2试将，(-π＜θ≤π)化为三角

10、表示式.解由已知可得故z的三角表示式为利用复数z的代数表示式容易理解复数加法与减法运算的几何意义，设复数z1，z2对应的向量分别为1，由复数的运算法则知复数的加减法与向量的加减法一致，于是在平面上以为邻边的平行四边形的对角线就表示复数z1+z2（图1.2），对角线就表示复数z1-z2.图1.2由上述几何解释知下面两个不等式成立：其中表示向量的长度，也就是复平面上点z1，z2之间的距离.利用复数z的指数表示式作复数乘法与除法运算很方便.假设，则由式（1.5）可得于是由此可知：①两个复数乘积的模等于它们各自模的乘积，两

11、个复数乘积的辐角等于它们各自辐角的和；②两个复数商的模等于它们各自模的商，两个复数商的辐角等于分子辐角与分母辐角的差.由式(1.6)即得复数乘法的几何意义，乘积对应的向量是把z1对应的向量旋转一个角度后再将其模伸缩

12、z2

13、倍而得到的(图1.3).特别地，当

14、z2

15、=1时，只需把z1对应的向量旋转一个角度即得到例如就可由表示z的向量逆时针旋转而得到.例1.3已知正三角形的两个顶点为求其第三个顶点.解如图1.4将向量z2-z1绕z1旋转得另一个向量，其终点就是所求的第三个顶点z3（或z′3），根据复数乘法的几何意义可得

16、图1.3图1.4所以类似可得1.1.3复数的乘幂与方根n个相同非零有穷复数z的乘积称为复数z的n次幂，记作若，则特别地，当r=1时，即z=cosθ+isinθ，则得DeMoivre公式如果复数w和z满足则称复数w为z的n次方根，记作，即下面求的表达式.令，则由式(1.8)，得于是有从而故z的n次方根为从式(1.9)可以看出，只有当k取0,1,2