竞赛专题讲座-几何变换

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1、竞赛专题讲座－几何变换主讲人：重庆市育才中学　瞿明强【竞赛知识点拨】一、平移变换1．　定义设是一条给定的有向线段，T是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X‘，使得=，则T叫做沿有向线段的平移变换。记为XX’，图形FF‘。2．　主要性质在平移变换下，对应线段平行且相等，直线变为直线，三角形变为三角形，圆变为圆。两对应点连线段与给定的有向线段平行（共线）且相等。二、轴对称变换1．　定义设l是一条给定的直线，S是平面上的一个变换，它把平面图形F上任一点X变到X’，使得X与X‘关于直线l对称，则S叫做以l为对称轴的轴对称变换。记为XX’，图形FF‘。2．　主要

2、性质在轴对称变换下，对应线段相等，对应直线（段）或者平行，或者交于对称轴，且这两条直线的夹角被对称轴平分。三、旋转变换1．　定义设α是一个定角，O是一个定点，R是平面上的一个变换，它把点O仍变到O（不动点），而把平面图形F上任一点X变到X’，使得OX‘=OX，且∠XOX’=α，则R叫做绕中心O，旋转角为α的旋转变换。记为XX‘，图形FF’。其中α<0时，表示∠XOX‘的始边OX到终边OX’的旋转方向为顺时针方向；α>0时，为逆时针方向。2．主要性质在旋转变换下，对应线段相等，对应直线的夹角等于旋转角。四、位似变换1．　定义设O是一个定点，H是平面上的一个变换，它把

3、平面图形F上任一点X变到X‘，使得=k·，则H叫做以O为位似中心，k为位似比的位似变换。记为XX’，图形FF‘。其中k>0时，X’在射线OX上，此时的位似变换叫做外位似；k<0时,X‘在射线OX的反向延长线上，此时的位似变换叫做内位似。2．　主要性质在位似变换下，一对位似对应点与位似中心共线；一条线上的点变到一条线上，且保持顺序，即共线点变为共线点，共点线变为共点线；对应线段的比等于位似比的绝对值，对应图形面积的比等于位似比的平方；不经过位似中心的对应线段平行，即一直线变为与它平行的直线；任何两条直线的平行、相交位置关系保持不变；圆变为圆，且两圆心为对应点；两对应

4、圆相切时切点为位似中心。【竞赛例题剖析】【例1】P是平行四边形ABCD内一点，且∠PAB=∠PCB。求证：∠PBA=∠PDA。【分析】作变换△ABP△DCP’，则△ABP≌△DCP‘，∠1=∠5，∠3=∠6。由PP’ADBC，ADPP‘、PP’CB都是平行四边形，知∠2=∠8，∠4=∠7。由已知∠1=∠2，得∠5=∠8。∴P、D、P‘、C四点共圆。故∠6=∠7，即∠3=∠4。【例2】“风平三角形”中，AA’=BB‘=CC’=2，∠AOB‘=∠BOC’=60°。求证：Ｓ△AOB‘+Ｓ△BOC’+Ｓ△COA‘<。【分析】作变换△A’OC△AQR‘，△BOC’△B‘PR

5、’‘，则R’、R‘’重合，记为R。P、R、Q共线，O、A、Q共线，O、B‘、P共线，△OPQ为等边三角形。∴Ｓ△AOB’+Ｓ△BOC‘+Ｓ△COA’<Ｓ△OPQ=【例3】在两条对角线长度以及夹角一定的所有凸四边形中，试求周长最小的四边形。【分析】取AC、BD的中点E、F，令ACA‘C’，则A‘BC’D是一个符合条件的平行四边形。延长AF、CC‘交于G。∵E是AC的中点且EF∥CC’，FC‘∥EC，∴F、C’分别为AG、CG的中点。∴AD+BC=BG+BC≥2BC‘=A’D+BC‘。同理可得AB+DC≥A’B+DC‘。故当四边形为平行四边形时，周长最小。【评注】当已

6、知条件分散，尤其是相等的条件分散，而又不容易找出证明途径，或题目中有平行条件时，将图形的某一部分施行平移变换，常常十分凑效。【例4】P是⊙O的弦AB的中点，过P点引⊙O的两弦CD、EF，连结DE交AB于M，连结CF交AB于N。求证：MP=NP。（蝴蝶定理）【分析】设GH为过P的直径，FF’F，显然‘∈⊙O。又P∈GH，∴PF’=PF。∵PFPF‘，PAPB，∴∠FPN=∠F’PM，PF=PF‘。又FF’⊥GH，AN⊥GH，∴FF‘∥AB。∴∠F’PM+∠MDF‘=∠FPN+∠EDF’=∠EFF‘+∠EDF’=180°，∴P、M、D、F‘四点共圆。∴∠PF’M=∠P

7、DE=∠PFN。∴△PFN≌△PF‘M，PN=PM。【评注】一般结论为：已知半径为R的⊙O内一弦AB上的一点P，过P作两条相交弦CD、EF，连CF、ED交AB于M、N，已知OP=r，P到AB中点的距离为a，则。（解析法证明：利用二次曲线系知识）【例5】⊙O是给定锐角∠ACB内一个定圆，试在⊙O及射线CA、CB上各求一点P、Q、R，使得△PQR的周长为最小。【分析】在圆O上任取一点P0，令P0P1，P0P2，连结P1P2分别交CA、CB于Q1、R1。显然△P0Q1R1是在取定P0的情况下周长最小的三角形。设P0P1交CA于E，P0P2交CB于F，则P0Q1+Q1R1

8、+R1P0