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1、本科毕业论文（20届）Bourgain空间的性质专业：数学与应用数学II摘要Bourgain空间是为适应非线性发展方程低正则性研究的需要而由Fields奖获得者J.Bourgain引进的.由于Bourgain空间和与此相伴的不动点格式的引进和运用,薛定谔和KdV方程的适定性得到了极大的改进.这种方法自引进以来业已得到十分广泛的应用,例如[1-7].Bourgain空间与相应的发展方程的线性结构密切相关,即不同的发展型偏微分方程对应于不同的Bourgain空间,此外,这类空间在具体应用中得到了推广.因此,Bourgai
2、n空间是Lebesgue空间和Sobolev空间的推广,相比较而言,复杂得多,它的性质,如插值、嵌入等性质不容易看出.本论文全面系统地研究了Bourgain空间的基本性质,从而为它在偏微分方程中的应用奠定基础.最后,回顾了mKdV方程低正则性研究的Bourgain方法.关键词:Bourgain空间;发展方程;嵌入性质;插值性质;mKdV方程IIPropertiesofBourgainSpaceAbstractBourgainspacewasintroducedbytheFieldsPrizewinnerJ.Bourg
3、ainforadaptingtotheneedsoflowregularityofnonlinearevolutionequations.AstheintroductionandapplicationofBourgainspaceandthefixedpointformat,thewellposednessofSchrodingerandKdVequationsweregreatlyimproved.Sincethisapproachwasintroduced,ithasbeenreceivedawiderangeo
4、fapplications,suchas[1-7].Bourgainspaceandthelinearstructureofthecorrespondingevolutionequationarecloselyrelated.ItdenotesdifferenttypeofdevelopedpartialdifferentialequationscorrespondtodifferentBourgainspace.Inaddition,theformsofthesespaceshavebeenpromotedinsp
5、ecificapplications.Therefore,BourgainspaceisthepromotionofLebesguespaceandSobolevspace.Comparedwiththem,Bourgainspaceismuchmorecomplexanditsproperties,suchasinterpolationandembeddingarenoteasytofindout.ThispapersystematicallystudiesthebasicpropertiesofBourgains
6、paceandlaysthefoundationofitsapplicationinthepartialdifferentialequations.Finally,wereviewthemKdVequationwithlowregularityoftheBourgainmethod.Keywords:Bourgainspace;Evolutionequation;Embeddingproperties;Interpolationproperties;MKdVequationII目录摘要IABSTRACTII1前言11
7、.1Bourgain空间的产生及发展11.2论文的组织结构12BOURGAIN空间的定义22.1Bourgain空间的定义22.2广义Bourgain空间的定义33与经典函数空间的关系53.1与空间的关系53.2与Sobolev空间的关系54BOURGAIN空间的性质74.1嵌入性质74.2插值性质75在MKDV方程局部适定性中的应用95.1广义Bourgain空间上色散方程的局部适定性95.2mKdV方程的局部适定性146小结19参考文献20致谢21III1前言1.1Bourgain空间的产生及发展1993年Bou
8、rgain在研究Schrodinger方程和KdV方程的低正则性时引进了Bourgain空间,并在此基础上产生了一种适合于研究初值具有低正则性的局部适定性-即初值在负指标Sobolev空间中的初值问题局部适定性-的方法,现在一般称为Bourgain方法,其主要思想是把工作空间由型的函数空间替换为另一类含时-空变元的函数空间,即所谓的Bourga
