中考数学复习指导：例说求解抛物线最值问题的转化策略

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1、例说求解抛物线最值问题的转化策略一、问题引入领悟思考二次函数是初中数学的核心知识，也是中考的必考内容，其中应用二次函数求最值是师生共同的难点，笔者从”一波三折”经历中吸取经验，领悟解题方法，将面积最值，以及点到线距离的最值问题转化为线段的最值问题.二、试题呈现启发思考题目如图1,在直角坐标系屮，抛物线经过点A(0,4),B(1,O),C(5,0),其对称轴与兀轴相交于点M.(1)求抛物线的解析式和对称轴.(2)在抛物线的对称轴上是否存在一点P,使PAB的周长最小?若存在，请求出点P的坐标;若不存在，请说明理由.(3)连接AC

2、,在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点N,使ANAC的而积最大?若存在，请求出点N的坐标;若不存在，请说明理由.三、对比解法展示成果分析1(1)、(2)解题过程略.问题⑶难点为借助直角坐标系的“优势’'表示11!A7VAC的面积,即Ln二Sgoc+Sg-Smon・关键点是，以°C为底边，以点N的纵坐标的绝对值为高,即可求出OCN的而积;以0A为底边，以点N的横坐标的绝对值为高，即可求出AOAN的面积.解法1(3)假设在直线AC的下方的抛物线上存在点N,使ANAC面积最大.则点4924N(t,—广f+4)(0

3、2,连结AN、CN、ON,贝ijl

4、时,MC的面积取最大值.由」得珈Jx白丄x*4“32八5252:、N(—,—3)就本题而言，用上面的解法快速简便，但不是解决最值的通用方法，中考压轴题类型繁多，复习时间紧，过多的细化会给学生带来很大的负担，故教师在授课过程中要有意识创造性地将单一的、机械的、肤浅的知识融会贯通，以揭示问题的本质与关键

5、.分析2过抛物线上点N作直线NQ//y轴，与AC相交于点Q,则Szcn=S、q+S、cnq,用点N的横坐标(表示S^cn的二次函数表达式，进而求得而积最值.可将AACN的面积分两部分来求:一部分是AAN0,以NQ为底边,以点N的横坐标的绝对值为髙即可求出AANQ的面积;一部分是△CWQ,以NQ为底边，以点N、C的横坐标差的绝对值为高即可求出NCNQ的面积.当然，由ANQ的高与NCNQ的高之和为以点A、C的横坐标差的绝对值可求出S关于/的函数关系式，最后根据二次函数的性质可求得S的最大值.具体地，先根据点A、C的坐标求出直

6、线AC的方程;然后将[分别代入抛物线与直线方程中，NQ的长就是/V、Q的纵坐标差的绝对值.由SgQ=*NQg4-r),根据Smcn=Sznq+S、cnq，整体计算更方便・解法2(1)、(2)解题过程略.4(3)假设存在这样的点N,易得直线AC的方程为y亍兀+4,过抛物线上点N作4“24直线NQ//y轴，与AC相交于点Q,如图3.由⑴得抛物线的解析式为y=—F——%+4,554244由此可设点N(z,—tr+4),则点0(/,—r+4)44小24/ve=[(--^+4)-(-r2-—r+4)]=-r+4/5易得对称轴r=d2.•

7、•当心

8、时’NQ映严5*•S^cNmax=+HcNQ=-NQ§<(xc-xa)=5x5x1=2522.5ZH4,5二245片由t=—,Wy^v=-x(-)2X—+4=—32…5252N(f,-3)四、解法生成挖掘木质在解法2中不难看出AACN的面积与铅垂线段NQ密切相关，即AACN的面积的最值的本质是铅垂线段NQ的最值.连结AC,在直线AC的下方的抛物线上，是否存在一点E（如图4）,使E到AC的距离最大.将AC看做AACE的底时，则E到AC的距离EF为MCE的高;当E到AC的距离最大时，AACE的面积也最大;当AACE的面积也

9、最大时，铅垂线段EH最长，故点到直线的距离最值可以转化为铅垂线段的最值问题.三角形面积最值问题可转化为铅垂线（水平线）的最值问题;斜线段最值问题可转化为直线段最值问题.即铅垂线（水平线）最值，面积最值与斜线段最值Z间可互相转化，其木质上是线段的最值.五、感悟思考教学改进我们在复习中考压轴题时，作为一线教师要精心选择题目，合理编排题目，注重题型的内在联系.不仅要教给学生如何解题，更应该带领学生学会解题的本质，帮助学生积累一些主要解决问题的模型与数学思想，以达到最易理解、最易计算、最易得分的解题效果.这样,对学生在中考中，获得良好

10、的成绩是非常有益的.