2019-2020年高三10月自主练习（数学理）

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2019-2020年高三10月自主练习（数学理）一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案填写在答卷纸相应位置上．1．已知集合A=，B=｛x|＜2x+1＜4｝,则A∩B=▲．2．在复平面内，复数所对应的点位于第▲象限．第二象限3．若命题“”是假命题，则实数的取值范围是▲．4.若是偶函数，则的递增区间为▲．XYOPAB5．已知=▲．6.已知实数满足，那么的最小值为▲．17.如右图所示，已知、，从点射出的光线经直线反射后再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是▲．8．已知数列满足则的最小值为▲．9．设为定义在上的奇函数，当时，，则▲．-410.若函数的图象上任意点处切线的倾斜角为，则的最小值是▲．11．若点M是△ABC所在平面内的一点，且满足，则△ABM与△ABC的面积比为▲．12．若则在S1，S2，…，S100中，正数的个数是▲．8613．若关于的方程有三个不等实数根，则实数的取值范围是▲．14．已知函数f(x)=在R不是单调函数，则实数a的取值范围是▲．二、解答题：本大题共6小题，共计90分．请在答卷纸指定区域内作答.15．（本小题满分14分）已知函数（1）求函数f(x)的最小值和最小正周期；（2）设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,且c=，，若向量共线，求a,b的值。答案：解：（1）……………3分即T=……………7分（2） ……………10分由余弦定理……………14分16．（本小题满分14分）如图，矩形的两条对角线相交于点，边所在直线的方程为点在边所在直线上．（I）求边所在直线的方程；（II）求矩形外接圆的方程；（III）若直线经过点，且与矩形的外接圆有公共点，求直线的倾斜角的范围．【答案】解：（I）因为边所在直线的方程为，且与垂直，所以直线的斜率为．……………2分又因为点在直线上，所以边所在直线的方程为．．……………4分（II）由解得点的坐标为，……………6分因为矩形两条对角线的交点为．所以为矩形外接圆的圆心．又．从而矩形外接圆的方程为．……………10分（III）求出斜率范围……………12分……………14分17.（本小题满分14分）已知函数（1）求函数的定义域；（2）记函数求函数的值域；（3）若不等式有解，求实数的取值范围.解：（1）由题意得，x应满足：2+x＞0，2-x＞0，解得-2＜x＜2，所以f（x）的定义域为（-2，2）．（2）由于g（x）=10f（x）+3x，得g（x）=-x2+3x+4（-2＜x＜2）为二次函数，对称轴为x=，故最大值为g()=最小值为g（-2）=-6，故函数g（x）的值域为(-6)，（3）∵不等式有解，∴令，由于，∴∴的最大值为∴实数的取值范围为 18．（本小题满分16分）已知函数．（1）讨论函数在定义域内的极值点的个数；（2）若函数在处取得极值，对,恒成立，求实数的取值范围.解：（Ⅰ），…………2分当时，在上恒成立，函数在单调递减，∴在上没有极值点；……………4分当时，得，得，∴在上递减，在上递增，即在处有极小值．………6分∴当时在上没有极值点，当时，在上有一个极值点．………………8分（Ⅱ）∵函数在处取得极值，∴，……………10分∴，………………12分令，可得在上递减，在上递增，∴，……………14分即．………………16分19．（本小题满分16分）如图所示，某市政府决定在以政府大楼为中心，正北方向和正东方向的马路为边界的扇形地域内建造一个图书馆.为了充分利用这块土地，并考虑与周边环境协调，设计要求该图书馆底面矩形的四个顶点都要在边界上，图书馆的正面要朝市政府大楼.设扇形的半径，，与之间的夹角为.（1）将图书馆底面矩形的面积表示成的函数.ABCDMOPQF（2）求当为何值时，矩形的面积有最大值？其最大值是多少？(用含R的式子表示)解（Ⅰ）由题意可知，点M为的中点，所以.设OM于BC的交点为F，则，..……………3分所以……………5分，.……………8分（Ⅱ）因为，则.……………10分所以当，即时，S有最大值.……………13分.……………15分故当时，矩形ABCD的面积S有最大值.……………16分 20.（本小题满分16分）已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为，数列的首项为，且前项和满足－=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列的通项，求数列的前项和；（3）若数列{前项和为，问的最小正整数是多少?解（1）,,,.又数列成等比数列，，所以；又公比，所以；……………………...3分又,,；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列，，当，；又其满足，()；……………………………….6分（2）、所以（1）（2）(1)式减（2）式得：………………8分化简：所以所求…………………………………………………11分（3）； ………………………14分由得，满足的最小正整数为77.…………16分