电路教案8 二阶电路

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1、1第八章二阶电路●二阶电路：由一个二阶微分方程或两个联立的一阶微分方程描述的电路。●电路中含有两个储能元件（一个L和一个C；或两个独立的L或两个独立的C）。所谓独立，就是两个L不能串联或并联，或在电路中与电流源构成回路；两个C不能串联或并联，或在电路中与电压源构成回路。否则，仍属一阶电路。●二阶电路的分析问题是求解二阶微分方程或一阶联立微分方程的问题。与一阶电路不同的是，这类电路的响应可能出现振荡的形式。为了突出这一重要特点，本章首先从物理概念上阐明LC电路的零输入响应具有正弦振荡的形式，然后通过RLC串联电路说明二阶电路的一般分析方法以及固有频率（特征根）与固有响应形式的关系。2基本要求：

2、理解二阶电路固有频率、振荡和非振荡的概念，重点掌握RLC串联电路微分方程的建立及相应初始条件、特征方程及其根，并根据特征根判定电路的状态及零输入响应的形式，掌握直流RLC串联电路的全响应及GCL并联电路的分析。3设uC(0)=U0iL(0)=0,wL(0)=0CL+–U0(a)CLi(b)CL+–U0(c)CLi(d)CL+–U0(e)C放电,uC↓WC↓,WL↑L吸收能量L释放能量WL↓,WC↑C反向充电C反向放电WC↓,WL↑L吸收能量L释放能量WL↓,WC↑C重新充电由此可见，在由电容和电感两种不同的储能元件构成的电路中，随着储能在电场与磁场之间的往返转移，电路中的电流和电压将不断地改

3、变大小和方向（极性），形成周而复始的振荡。WCWL注：1）若R=0，则为无阻尼等幅振荡；2）若R≠0，则为阻尼衰减（减幅）振荡；3）若R很大，则不产生振荡。§8—1LC电路中的正弦振荡4例：图示为LC振荡回路，设uC(0)=1V，iL(0)=0。CL+–uC1F1HiL则由元件的VAR可得：此即为二阶电路的两个联立的一阶微分方程此式表明：电流的存在要求有电压的变化；电压的存在要求有电流的变化。故电压、电流都必须处于不断的变化状态之中。结合初始条件uC(0)=1V，iL(0)=0，不难猜想：uC(t)=costViL(t)=sintA既满足方程又满足初始条件。因此，LC回路中的等幅振荡是按正弦

4、方式随时间变化的。能量特性：∴W(t)=W(0)(t≥0)5设含L和C的二阶电路如图(a)所示，运用戴维南定理后可得图(b)所示RLC串联电路。含源电阻网络iLC(a)iLC(b)++++––––uOCuRuLuCR由图(b)：根据KVL：要求出微分方程uC(t)的解答，必须有uC(0)和u'C(0)两个初始条件。uC(0)——电容电压初始值t=0t=0§8—2RLC串联电路的零输入响应——过阻尼情况6此处只研究图示电路的零输入响应——即uOC(t)=0特征方程：特征方程的根：S由电路本身参数R、L、C值确定，与初始状态无关。故也称之为固有频率。根据R、L、C值的不同，固有频率可能出现如下三

5、种情况：1）当时，S1、S2为不相等的负实根——过阻尼非振荡；2）当时，S1、S2为相等的负实根——临界阻尼非振荡；3）当时，S1、S2为一对负实部共轭复根——欠阻尼振荡。注：本节只讨论第一种情况。即7对应齐次微分方程的解答形式为：式中：待定系数（积分常数）K1、K2由uC(0)和u'C(0)确定。即∴●当，即时的过阻尼非振荡情况此时即衰减慢衰减快8不难看出，uC(t)和iL(t)都是由随时间衰减的指数函数项表示的，表明电路的响应是非振荡性的。例：设uC(0)=U0，iL(0)=i(0)=0相当于图示电路，换路前处于稳态，t=0时换路.1、uC(t)、i(t)、uL(t)及uR(t)的变化特

6、性t=012++++––––U0RLCuR(t)uL(t)uC(t)●i(t)由以上分析知（t≥0）：uC(0)0uC(t)tuC(t)①uC(t)由两个单调下降的指数函数构成，C一直处于放电状态（非振荡）。9②i(t)始终为负（实际方向与参考方向相反）。tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uRt=0,i=0；t→∞,i→0；t=tm：i=–imax。③uR(t)和i(t)变化类似。④uL(t)的变化情况：1）t=0时，uL(0)=–uC(0)；2）0

7、tm2tm：uL→0。▲关于tm的确定（tm即为uL=0和i=–imax的时间）由t=tm：即10证明：为什么t=2tm时，uL(t)=uLmax？证：由令则即（证毕）tm2tmi(t)uR(t)uL(t)uC(t)uC(0)–uC(0)0tuC、i、uL、uR112、过阻尼非振荡放电过程中的能量转换关系1）0＜t＜tm：i恒为“–”，u