7.6 多元函数的极值1

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1、7.6、多元函数的极值一、多元函数的极值定义7.8:设f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域O(P)内有定义,0000当(x,y)O(P)时,若f(x,y)f(x,y),000则称f(x,y)为f(x,y)的极小值;00当(x,y)O(P)时,若f(x,y)f(x,y),000则称f(x,y)为f(x,y)的极大值;00相应地,称(x,y)是f(x,y)的极小值点与极大值点;00极小值与极大值统称为极值.22例:zxy在点(0,0)处取得极小值.zyox22z例:z1xy在点(0,0

2、)处取得极大值.yox22例:设zyx,则(0,0)不是极值点.zyxyyxoyxx由于在(0,0)的任一个邻域O(0,0),0内,2222既有使yx0的点,又有使yx0的点;22而且f(0,0)0.故(0,0)不是zyx的极值点.设二元函数zf(x,y)在P(x,y)处取得极大(小)值,那么固定yy,一元函数0000zf(x,y)在xx点必取得极大(小)值.00证明:设f(x,y)在P(x,y)点取得极大值,即当(x,y)O(P)时,f(x,y)f(x,y

3、)000000固定yy,那么当xO(x)时,点(x,y)O(P).0000f(x,y)f(x,y),xO(x)一元函数f(x,y)在xx点必取得极大值.000000而且,如果f(x,y)在xx点可导,则f(x,y)0.00x00同样,固定xx,一元函数zf(x,y)在yy点必取得极大(小)值.000而且,若f(x,y)在yy点可导,则f(x,y)0.00y00二元函数取得极值的必要条件:定理7.7:设zf(x,y)在P(x,y)处的偏导数f(x,y),f(x,

4、y)存在,000x00y00若P(x,y)是f(x,y)的极值点,则必有f(x,y)0,f(x,y)0.000x00y00f(x,y)0x称满足条件的点(x,y)为f(x,y)的驻点.f(x,y)0y可微二元函数的极值点一定是驻点,但驻点未必是极值点.22例:zyx,则z2x,z2yz(0,0)0,z(0,0)0.xyxy2222(0,0)为zyx的驻点;但(0,0)不是zyx的极值点.定理7.8:设f(x,y)在点P(x,y)的某一邻域O(P)内有二阶连续偏导

5、数,且0000(x,y)为f(x,y)的驻点,记Af(x,y),Bf(x,y),Cf(x,y),则00xx00xy00yy002(1):当BAC0时,(x,y)为f(x,y)的极值点,00且A0时,(x,y)为f(x,y)的极小值点,A0时,(x,y)为f(x,y)的极大值点;00002(2):当BAC0时,(x,y)不是f(x,y)的极值点;002(3):当BAC0时,(x,y)可能是f(x,y)的极值点,也可能不是f(x,y)的极值点,00需要进一步判定.2当BAC

6、0时,(x,y)可能是f(x,y)的极值点.00443322例:zxy,则z4x,z4yz12x,z0,z12y.xyxxxyyyz(0,0)0,z(0,0)0,即(0,0)为驻点.xy2而Az(0,0)0,Bz(0,0)0,Cz(0,0)0BAC0.xxxyyy但由于存在(0,0)的一个邻域O(0,0),0,使得(x,y)O(0,0)时,有4444zxy0z(0,0)(0,0)为zxy的极小值点,且z(0,0)0.2当BAC0时,(x

7、,y)可能不是f(x,y)的极值点.00322例:zyx,则z2x,z3yz2,z0,z6y.xyxxxyyyz(0,0)0,z(0,0)0,即(0,0)为驻点.xy2而Az(0,0)2,Bz(0,0)0,Cz(0,0)0BAC0.xxxyyy但由于对(0,0)的任一个邻域O(0,0),0,都存在(x,y)O(0,0)D使1112z(x,y)0,存在(x,y)O(0,0)D使z(x,y)0.1122222yyx332D2(0,0)不是

8、zyx的极值点.xD1求具有二阶连续偏导数函数zf(x,y)的极值方法:f(x,y)0x(1):解方程组,f(x,y)0y(2):对每一个驻点(x,y),求出二阶导数值A,B,C.002(3):定出BAC的符号,由定理7.8的结论判定f(x,y)是否为极值,是极大值还是极小值.00322例:求函数zf(x,y)x4x2xyy极值.2fx(x,y)3x8x2y0解:由