八年级数学“分式及其基本性质与运算”复习华东师大版知识精讲

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1、初二数学“分式及其基本性质与运算”复习华东师大版【本讲教育信息】一.教学内容：“分式及其基本性质与运算”复习二.重点、难点：1.重点：（1）了解分式、有理式、最简分式、最简公分母等概念，掌握分式的基本性质，会熟练地进行通分和约分。（2）掌握分式的加、减、乘、除与乘方的运算法则，会进行简单的分式运算.2.难点：（1）在分式的混合运算中，灵活选择运算律，掌握一些常用的运算技巧；（2）掌握分式求值中的几种技巧和方法。三.知识梳理：1.分式的概念：设A、B是两个整式，A÷B就可以写成的形式，如果B中含有字母，则叫做分式，其中A为分子，B为分母。当分母B≠0时，分式有意义；当A＝0，且B≠0时，分

2、式的值为0；当A>0，且B>0，或A<0，且B<0时，；当A>0，且B<0，或A<0，且B>0时，。2.分式基本性质：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，即(M为不为0的整式)。它是分式通分和约分的根据。3.分式的约分：把分式的分子、分母中的公因式约去叫约分。公因式是分子与分母系数的最大公约数，相同字母的最低次幂。4.分式的通分：将几个异分母的分式化成同分母的分式叫分式的通分。最简公分母是各分母系数的最小公倍数，相同因式的最高次幂，所有不同因式的积。5.分式乘法：将分子、分母分别相乘，即。分式除法：将除式分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即。6.分式乘方：(b

3、≠0)。分式开方：(a≥0，b>0)。7.分式的加减：（1）同分母分式相加减：；（2）异分母分式相加减：。8.分式混合运算：分式混合运算的顺序为：分式的混合运算，应先算乘方，再算乘除，最后算加减，如果有括号，先算括号内的。运算过程中，要灵活运用交换律、结合律、分配律等，运算结果必须是最简分式或整式。注：前两节的知识框架总结如下：【典型例题】例1.若分式的值等于零，则x＝_______；若分式的值等于0，则x＝_______。分析：根据分式的值为零的条件来解答，即：如果是一个分式，则＝0解：由x－2＝0，得x＝2.当x＝2时x＋1≠0，所以x＝2；由（x－2）（x＋1）＝0，得x－2＝0或

4、x＋1＝0，所以x＝2或x＝－1。当x＝－1时，=0，所以只取x＝2。例2.当x为任意实数时，下列分式一定有意义的是（　　）A.B.C.D.分析：一个分式有无意义，取决于它的分母是否等于0。即若是一个分式，则有意义B≠0。解：当x＝0时，x2＝0，所以选项A不是；当x＝－时，2x＋1＝0，所以选项B不是；因为x2≥0，所以x2＋1＞0，即不论x为何实数，都有x2＋1≠0，所以选项C是；当x＝±1时，｜x｜－1＝0，所以选项D不是。故选C。例3.分析：分式的混合运算，与实数的混合运算相似，一般是先算乘除，后算加减，有括号应先算括号里面的。本题注意整体思想的运用。解：原式==.例4.化简分析

5、：如果直接通分，运算非常复杂.观察到分母中两因式之差等于分子，可逆用分式的通分法则，把每个分式拆成两分式之差，消去一些项使分式运算变简单。解：原式＝＝＝例5.计算分析：若先算括号里面的，运算就比较复杂，考虑到后面除以，可以用平方差公式分解因式后化简。解：原式===例6.计算分析：如果按照法则进行，先算括号里面的，过程就比较繁琐，而用乘法分配律进行计算.运算就简单多了。解：原式===注：当碰到有括号的运算时，要根据具体的式子，观察分析是先算括号里面的还是使用乘法分配律。例7.已知，则M＝_________。分析：两个相等的分式，如果分母相等，那么，它们的分子也一定相等；反之，如果分子相等，

6、它们的分母也一定相等（分子不为0）。解：=∵，∴Ｍ=x2例8.已知x为整数，且为整数，求所有符合条件的x值的和。分析：显然在原式形式下无法确定满足条件的x的值，需先经过化简计算才能使问题得到解决，这是解决分式问题常用的做法。解：原式====显然，当x-3=2，1，-2或-1，即x=5，4，2或1时，的值是整数，所以满足条件的数只有5，4，2，1四个，所以符合条件的x的值的和是：5+4+2+1=12。例9.已知=8，求和的值。分析：本题充分运用了a与的倒数关系，注意运用以下的关系式：灵活运用这一变形便可巧妙地解决这类求值问题。解：在=8的两边都加上2，得所以有=类似地：=8的两边都减去2，

7、得所以有=变式题：已知，求的值。由得：∴例10.若x，y，z满足，，求分式的值。分析：可将其中的字母z看做已知数，用含有的z的代数式分别表示xy，再将其代入分式计算，最后约去z，从而求出分式的值。这里我们用整体思想来解答。解：由题意得：化简得：解得：∴原式＝＝－4009例11.甲工人与乙工人生产同一种零件，甲每小时比乙多生产8个，现在要求甲生产出168个这种零件，要求乙生产出144个这种零件，他们两个人谁能先完成任务呢？分析：先用含