高考解析几何十道必做题（详解）

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1、高考解析几何十道必做题1、［2014•四川卷］已知椭圆C：与+令=1（讥＞0）的焦距为4,其矩轴的两个端点与长ab轴的一个端点构成正三角形.（1）求椭圆C的标准方程.（2）设尸为椭圆C的左焦点，T为直线x=—3上任意一点，过F作加的垂线交椭圆C于点P,Q、①证明：07平分线段W（其中0为坐标原点）；Itf②当最小时，求点7'的处标.必做理由：①线段平分线段如何证明②利用基木不等式求最值。解：（1）由已知可得y]a+lj=2b,2c=Z菱一甘=■解得/=6,E=2,29所以椭圆C的标准方程是土+才=1.设T点的坐标为（一3,〃讥（2）①证明

2、：由（1）可得,尸的坐标是（一2,0）,则总线7F的斜率krr=ni—0-3-(-2)=—in.当刃工0时，直线％的斜率為=丄.直线％的方程是x=my~2.Ill当刃=0时，直线戶0的方程是x=_2、也符合x=my—2的形式.x=n】y—2,设心，卩），肛，乃），将直线％的方程少椭圆Q的方程联立，得—+—=162消去x,得（〃f+3）y—my—2=0,其判别式4=16/+8（龙+3）＞0.所以卩+乃二磊'皿=器,（、—12X

3、+也=刃（_刃+乃）—4=2丄加+3设M为W的中点,则M点的坐标为（穿吕，〒土）所以直线如的斜率局“=—彳,又直线

4、〃的斜率扁=-务所以点财在直线〃上，因此0厂平分线段PQ②由①可得，ITF=申+1,IPQ=寸（山一/）'+（p—比）$=yl(力+1)[(yi+j^)2—4yiy2](/+1)(4刃¥—2W+3丿一4・才+3—龙+3所以烁寺(4+4)=¥故当2、[2014・辽宁卷]圆/+/=4的切线与x轴正半轴，y轴正半轴用成一个三角形，当该曲(龙+1)](/g+3)224*ni+1i+^q-r-加十14I加当且仅当龙+1=L〒，即/〃=±1时，等号成立，此时沽取得最小值.刃十1FQ小时，T点的坐标是(―3,1)或(一3,—1).(1)求G的方程；⑵

5、椭圆。过点只几与g有相同的焦点，直线ma的右焦点口与G交于/,〃两点•若以线段/〃为肖•径的圆过点P,求1的方程.必做理由：①求三角形血积最小值②以线段为直径的圆过点P解：(1)设切点坐标为Uo,jo)(xo>O,j^>0),贝ij切线斜率为一凹，切线方程为y—yo=——(^―^)),即畑r+yoy=4,此时两个坐标轴的正半轴少切线的交点分別为(吕，(0,召.几5丿IW]44sL故具围成的三角形的面枳s=-•—.rh处+并=422必必知，当且仅当必=必=応时禺几有最大值2,此时S有最小值4,因此点尸的坐标为(迈，边).2_2__1由题意知

6、”厂，、扌+Z?2=3才，2解得a=1,F=2,故G的方程为22(2)由⑴知Q的焦点坐标为(一萌，0),(£,0),由此可设Q的方程为為+令=1，其中A>0.22由戶（花，边）在g上，得订眉+石=i,解得怎=3,22因此G的方程为f+v=1-63显然，/不是直线尸0.设直线Z的方程为X=my+yfi，点弭（乂，yj,〃（&,乃）,x=my+电,由｛#/得（分+2）/+2农〃少一3=0.又/,匕是方程的根，因此',2W加Z7X口+"-力+2，①V②illXi=〃”+g,x2=my2+^i,得x+x2=m（yi+乃）+2书,vIII十2”.F

7、/6—6/wxm=Mym+yj'Vn（□+.灼）+3=~rpy.因为~AP=（^2—X>,~BP=（^/2—x2»边一％）,由题意知〃・BP=Q,所以/必一迈（必+曲）+/乃一边（/+比）+4=0,⑤将①②③④代入⑤式整理得2/?—2托加+4&—11=0,解得心3护—1或m=—平+1.因此直线/的方程为X—（3护_l）y—书=0或x+（平-l）y-£=0.xV3、［2014•新课标全国卷I］已知点水0,—2）,椭圆圧飞+卫=1（&>方〉0）的离心率为ab零尸是椭圆疋的右焦点，直线处的斜率为学。为处标原点・⑴求去的方程；（2）设过点力的动直

8、线/与疋相交于只0两点，当△0%的面积最大时，求/的方程.必做理由：求的面枳最大值，先换元后用均值不等式。解:⑴设尸（c,0）,由条件知,纟=甕,得c=£.c3y又£=申，所以$=2,F=K=1.a22X故尸的方程为j+r=i.⑵当/丄轴时不合题意，故可设厶y=kx—2,P{x,yj,Qg必).2将y=kx_2代入扌+/=1得(1+4护)/一16滋+12=0,3当J=16(4A2-3)>0,即护〒时,8&±2^/4护一3=4#+1从而IPQ=p於+1

9、X_X24皿+1・^4护一3=4护+1又点0到直线1的距离e/=^=所以△&/绍的面

10、积S^=d.PQ=^^,/_414设_3=t,贝lj才〉0,5k(w=产+4=4因为汁7$4,当H.仅当t=2,即斤=土平时等号成立，满足厶＞0,所以，当△0/丿0的而积最