中科院量子力学题90-11

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1、中国科学院研究生院2011年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题试题名称：量子力学第一题：选择和简答(5'8×=40')1.氢原子的基态电离能是13.6ev，问处于第一激发态的氢原子电离能是（3.4ev）2.普朗克常数−34h等于（6.62610×Js⋅）i3.已知ABˆ、ˆ均是厄密算符，问下面哪个Fˆ是厄密算符（Fˆ=(BAABˆˆ−ˆˆ)）2∞4.对于中心势场，下列正确的是（22∫Rrrdr()=1）0����������5.经典力学中有L=×rp=−×pr，那么在量子力学中是否也有L=×rp=−×pr成立，并说明理由.26.写出在(

2、,)ssˆˆ的共同的本征态中，写出ss,的矩阵表示，并说明是否可以zxy找到这样一个表象，使得sss,,在该表象中的矩阵表示均为实矩阵，并说明xyz理由.7.写出氢原子、一维简谐振子、一维无限深势阱的能级，并用示意图表示.8.两个非全同粒子处于态ψ(,xx)，求出一个粒子处于p',p"之间，另一个1211粒子处于x',x"之间的几率.22��二、(30')在三维体系中粒子的径向动量算符pˆ=1⎛⎜r⋅+p�ˆp�ˆ⋅r⎞⎟，则：r2⎝rr⎠（1）pˆ是否为厄密算符，为什么？r（2）写出在球坐标系中pˆ的表示；r（3）求[rp,ˆ]=?r三、(30

3、')质量为的m粒子在半径为R的圆周上作自由运动：-1-（1）求其能级和本征函数；⎧V,−<αϕ<01（2）加Hˆ'=V()ϕ=⎪⎨V,0<ϕ<α微扰，2⎪⎩0,其他求对最低的两能级的一级微扰修正。2221∂∂1∂∂注：在坐标系中∇=(r)++。222rr∂∂rr∂ϕ∂z⎧0,00时刻撤去002微扰后体系处于前三个激发态的概率。五、(20')在(,LLˆ2ˆ)共同本征态Y中，L的可能值及相

4、应的概率。z20x中国科学院研究生院2010年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题试题名称：量子力学（811）一、（1）设ABˆ、ˆ与泡利算符对易，证明：(σˆ⋅Aˆ)(σˆ⋅Bˆ)=ABiˆ⋅+ˆσˆ(ABˆ⋅ˆ)1（2）试将(ˆˆˆ)2I+σ+iσ表示成Iˆ、σˆ、σˆ、σˆ的线性叠加，Iˆ为单位算符。xyxyzθθ二、设一维线性谐振子的初态为ψ(x,0)=cosϕ(x)+sinϕ(x)，即基态与第一0122激发态的叠加，其中θ为实数：（1）求t时刻的波函数ψ(,)xt;（2）求t时刻粒子处于基态及第一激发态的概率;（3）求t时刻粒子

5、的势能算符Vˆ=1mω2xˆ2的平均值；2（4）求演化成−ψ(,)xt所需要的最短时间t。min三、设基态氢原子处于弱电场中，微扰哈密顿量是：-2-⎧0,t≤0;ˆ'⎪其中H=⎨tλ、T为常数。−⎪⎩λzeT,t>0.（1）求很长时间后t≫T电子跃迁到激发态的概率，已知基态中a为玻尔半径，基态和激发态波函数为：r�12−ψ(r)=R(rY)(θϕ,)=ea;100100034πa2r�31r−ψ(r)=R(rY)(θϕ,)=cosθe2a.210211034π3a(2)a2（2）基态电子跃迁到下列哪个激发态的概率等于零？简述理由。（a）ψ（b）ψ

6、（c）ψ（d）ψ200211211−210四、两种质量为m的粒子处于一个边长为a>>bc的不可穿透的长盒子中，求下列条件下该体系能量最低态的波函数（只写出空间部分）及对应能量。（1）非全同粒子；（2）零自旋全同粒子；1（3）自旋为的全同粒子。2五、粒子在一维无限深势阱中运动，该体系受到Hˆ'=λδ(xa−)的微扰作用：（1）利用微扰理论，求第n能级精确至二级的近似表达式；（2）指出所得结果的适用条件。中国科学院研究生院2009年招收攻读硕士研究生学位研究生入学统一考试试题试题名称：量子力学（811）⎡010⎤一、已知在的(Lˆ2、Lˆ)表象中，L

7、ˆ=ℏ⎢101⎥求：zx2⎢⎥⎢⎣010⎥⎦（1）求Lˆ的本征值和相应的本征函数；x-3-（2）求Lˆ的矩阵表示。y12二、已知一粒子处在一维谐振子势场中运动，势能为Vx()=kx(k>0)，求：2（1）粒子的基态本征函数ψ()x；0（2）若势场突然变为2Vx()=kx，则粒子仍处于基态的概率。µω⎛i⎞4（提示：用湮灭算符aˆ=⎜x+pˆ⎟,2=1.414,2=1.189）。2ℏ⎝µω⎠†††三、若已知⎡aaˆ,ˆ⎤=⎡aaˆ,ˆ⎤=0,⎡aaˆ,ˆ⎤=δ，其中ij,=1,2。⎣ij⎦⎣ij⎦⎣ij⎦ij设Jˆ=1(aaˆ†ˆ+aaˆ†ˆ),J

8、ˆ=i(aaˆ†ˆ−aaˆ†ˆ),Jˆ=1(aaˆ†ˆ−aaˆ†ˆ)。求:x1221y1221z2211222(1)JJJˆ,ˆ,ˆ的关