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1、第20次课授课章节第十九章笫二节任课教师及职称姜了文、教授教学方法与手段讲授课时安排3餅教材和主要参考书华东师范大学主编《数学分析（上、下册）》（第三版），高等教育出版社2001年版吴良森等编著《数学分析学习指导书》（上、下册），高等教育出版社2004年版马顺业编著《数学分析研究》，山东大学出版社1996年版刘玉琏等编著《数学分析讲义》（第三版）（上、下册），高等教育出版社1982年版教学目的与要求：（1）了解「函数与0函数的定义少有关性质.（2）了解r函数与0函数的关系公式.教学重点，难点：重点：「函数与0函数的定义与有关性质难点：「函数与0函数
2、的关系公式教学内容：一、欧拉积分的概念含参量积分r（5）=『xs-}e~xdx，$〉0称为格马函数.B（p,q）=/;>0,（7>0称为贝塔函数•注：相当一部分困难的定积分和反常积分（如原函数为非初等函数），可通过介适的变量变换转化为欧拉积分，利用欧拉积分的性质，杏表来得到近似值.二、r函数r函数可写成如下两个积分之和r（5）=^xs~[e~xdx+（xs定义域/（5）=^xs-le~xdx当・宀1时是正常积分，当°心<1是收敛的反常积分，j（5）=^x5-}e~xdx当$>0是收敛的反常积分，故知r函数「（$）=7（5）+7（5）的定义域为$>°
3、.「函数在定义域$〉°内连续且可导.山不等式兀e£知/（$）在区间[a,h]（t/>0）收敛和一致收敛因而在区间⑺,创连续，山不等式5兀I厂知丿G）在区间[ayb（a>0）收敛和一致收敛因而连续,从而「函数r（5）=Z（5）+J（5）在定义域$>°内连续•同样方法可得「函数在定义域s>°内可导且有任意阶导数.（二）、递推公式r（5+1）=sV（s）『xseXdx=-xse~x"+s[xs~ye~xdx=一AZ"+s[x5}eXdxA）QJoJo令AT+8即得「（$+1）=丈（$）,eXdx=I（s）+J（5）（一）、定义域〈〈数学分析3》教案（三
4、）、图象对一•切$〉0,「“）和厂"（£）恒大于0,因此「⑸的图形位于$轴上£ru>[/方，H.是向下凸的.因为r（i）=r（2）=i,所以「（$）在5>o上存在惟一-V?的极小值点％）,且s（）w（l,2）.又「（$）在（0,$（））内严格减；在（$（）,+oo）内42112J4*-12严格增.\A•i丄4由于r（5）==r（5+1）（s>o）及iimr（5+1）=r（i）=1,SS故有limr（5）=lim=+oo.st（TstO*S由r（5）在Go，S内严格增可推得Hmr（5）=+oo.$T+00（四）、延拓改写递推公式为「（$）=g+1）
5、,可将函数「（$）延拓到整个数轴（除了5=0-1-2,A以外）.s（五）、其他形式《数学分析3》教案⑴令兀=y2可得「（$）=rXs-1e-xdx=2ry2s~xe-y2dy（$〉0）.（2）令x=py有r（5）=xs~ye~xdx=psys~[e~pydy（5>0,p>0）.三、B函数（―•）、定义域B（p,q）=[01（1—兀丫一力兀当pvl时兀=°为瑕点，当gvl时兀=1为瑕点，定义域为〃>0,q〉0.任何〃0〉0,%>0,在p>Po，q>q°内，一致收敛，故B函数在定义域“〉0,g>0内连续（二）、对称性B（p,q）=B（q,p）・作变换x
6、=l-y.B（p,q）=^xp~l（1-x）（Hdx={'（1-yY~lyq~'dy.（三）、递推公式B（p,q）=—-~—B（p,q—,（p>O,q>l）,（8）p+qT(9)B(p,q)=P_'B(p—,q),(”>l,g>0),p+q—i沪応祐爲巧5>輛>1),p>Q,q>1时,B(p,q)=q_l_0T(1_兀)](1_兀)日〃兀P口I'x^'(1-x)q-2dx-□fxM(1-X)°Tdx士’B(p,q—h—心B(p,q),PP移项整理即得(8).(四)、其他形式(1)令x=cos2(p,则有:《数学分析3》教案!兀B(p,q)=—=2
7、£sinst^cos2/,_1(pd(p.(2)令X=,则有B(p,q)二^xp-\-x)q-[dx=£8V^"1(1+刃“IM-oo(3)令),则有B(p,q)=£(1+y)屮p'^—dtp+q四、「函数MB函数的关系当加/为正整数时，由于B(m,l)=(xm~]dx=-n-1n-2J()mB(m,n)="—'B(m』一V)=An—1n-2m+n-1m+n-m+n-2m+1A丄丄m+n-1m+n-2m+m(zi-l)!(/n-l)!r(n)r(m)(m+n—1)!V(n+m)对于任何实数p>O、q>0也有关系式(待以后证明)B(P，q)」y
8、，(P「(p+g)>0,q>0).《数学分析3»教案复习思考题、作业题:1,2,3⑴(2)下次课预习要点笫一型曲线积分实施
