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1、剖析平面向量中的常见错误四川省南部中学袁启永637300平面向量是高中数学教材中的新壇内容，运用向量知识解题常可收到化繁为简、化难为易的神奇功效，随着新教材的逐步实施，它已成为高考数学的新宠。但学生在初学这部分内容时，往往会出现这样或那样的错误，现列举几种常见错误，以期起到防患于未然的作用。一、乱用平移公式致误例1、己知4(1,2)>3(4,2),贝IJ向量期按向量(-1,3)平移后得到的向量是()A、(0,5)B、(3,5)C、(3,0)D、(2,3)错解：由4(1,2)、8(4,2)^AB=OB-OA=(4,2)-(1,2)=(3,0),将兀=3,)，=0
2、及—3代入平移公式心屮x=2y=3故选Do剖析：平移公式揭示的是点沿着向量平移前后坐标的变化关系，它不适用于向量平移的规律，上述错误是典型的乱用公式。正解1：将A(l,2).B(4,2)按向量(-1,3)平移后分别变为屮(0,5)、歹(3,5),故A®=(3,0),故应选C。止解2：因平移不影响向量大小的变化，故应选C。二、分不清平移前后致误例2、把一个函数的图象按a=(-,2)平移后得到的图象的函数解析式为4y=sin(x+-)+2,那么原來函数的解析式为()・4A、y=sinxy=cosxC、y=sinx+4D、y=cosx+4错解：由向量平移公式得^，=
3、X+4V=)'+2•71X=X14代入y=sin(xh——)+2得/04ly=y_2y'=sinx'+4,故选C。剖析：错选C项是分不清平移前后所致，y=sin(兀+仝)+2是图象平移后得到的4函数解析式，应为>/=sin(x/+—)+204正解：由平移公式得"f+才，代入y'sinX+3+2得y=cosx,故选B。yj+24三、忽略共线向量致误例3、已知同一平面上的向量a、b>c两两所成的角相等，并且1°1=1,1&1=2,Ic1=3,求向量a+Z+c的长度。错解：易知7、b.:皆为非零向量，设：、八：所成的角均为&,则3&=360。，_r__,rtro即0
4、=120°,所以，a^b=a-bcos120"=一1,同理亍・c=-3,c-a=一二，由2T—i0—2f2—2ifi—[/iff/~la+b+cl~=a+b+c+2a•b+2b•c+2c•ci—3,la+b+cl=J3o剖析：本例误以为：、1、7皆为非共线向量，而当向量：、b.:共线且同向时,所成的角也相等均为0。，符合题意。正解：(1)当向量：、b.:共线且同向时，所成的角均为o。，所以G+方+7丨=1a丨+丨》丨+丨c1=6；(2)当向量：、b.7不共线时，同错解.综上所述，向量a-^b+c的长度为6或希。四、忽视两向量夹角的意义致误例4、正AAB
5、C的边长为1,且~BC=a,CA=bfAB=cf求G+&+：l的值。错解：由于止MBC的边长为1,所以，ZA=ZB=ZC=60°且G
6、=口
7、=
8、：
9、=1,—#f—#fI_,ffIf—#所以，a-b=a-hcosZC=—,同理可得b・c=—，c-a=—,222—♦—»f—♦2—*2f2—♦—*—*—*—»—♦—♦r由la+b+c卩=q+b+c+2a-b+2b-c+2c-a=6,故Ia+b+cI=J6。剖析：木题误以为：与亍的夹角为ZBCA。事实上，两向量的夹角应为平面上同一起点表示向量的两条有向线段之间的夹角，范围是[0180:],因此，：与/的夹角应
10、为180°-ZBCAo止解：作CD=BC97与&的夹角即西与刃的夹角为180°-ZBCA=120°,所—♦—>—♦—♦I—♦—♦I—♦—♦以，a^b=a-bcos120°=——,同理可得b・c=——,c-a=——,222—♦—♦f2f2f2—♦—#―♦ii—♦—♦ff14~
11、lQ+b+c
12、J=d+b+c+2a•b+2b•c+2c•ci=0,la+/?+cl=0。五、忽视充要条件致误例5、已知：=(1,3),&=(2,刃，设7与&的夹角为&,要使&为锐角，求几的取值范围。错解：因为0为锐角,所以cos&〉0,由：E=Gl・l&lcos0知,只须:坊〉0,
13、即21・2+3・2〉0,即2〉——o剖析：本题误以为两非零向量：与&的夹角为锐角的充要条件是：•&〉()，事实上,两向量的夹角&丘［0,刎，当&=0时，有cos0=l〉O,对于非零向量方与/仍右2・&〉o,因此，：幕〉0是两非零向量：与亍的夹角为锐角的必耍不充分的条件。即有如下结论:两非零向量：与庁的夹角为锐角的充要条件是:第〉0且：不平行正解：由0为锐角，得cos^)0且0hO,由a-b=a-bcos0,而1°丨、丨&1恒大if2if于0,所以Q』〉0,1・2+3・2〉0,gp2>--；若a平行b则1・2-2・3=0艮卩2=6,但若a'I，•行庁贝1
14、」0=0或&=龙，与0为锐角相孑盾，所
