资源描述：
《一道课本例题的探究与应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、一道课本例题的探究与应用课本是重要的教学资源，例题是数学教材的重要组成部分，是教材的精华，颇受高考命题专家的青睐•数学教师应充分对例题进行探究，挖掘其应用价值•著名数学家G?波利亚说：“一个专心的认真备课的教师能拿出一个有意义的但又不太复杂的题目，去帮助学生发掘问题的各个方面，使英通过这道题，就好像通过一道门户，把学生引入一个完整的理论领域.”下面通过一道课本例题的探究谈•谈如何“立足课本，对接高考”・1题目呈现题目(人教A版《数学〈选修2-1〉第41页的例3)设点A,B的坐标分别为(-5,0),(5,0),直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-49,求点M的轨迹方程.2题日探
2、究探究1设点A,B的坐标分别为(-a,0),(a,0)•直线AM,BM相交于点M,且它们的斜率之积为-b2a2,求点M的轨迹方程，点M的轨迹是什么？结论1与两定点A(-a,0),B(a,0)连线的斜率之积等于定值-b2a2的点M的轨迹方程是x2a2+y2b2=l(xH土a).情形1：当a>b>0时，点M的轨迹是以AB为长轴的椭圆，除去A,B两点.情形2：当b>a>0时，点M的轨迹是以AB为短轴的椭圆，除去A,B两点.情形3：当沪b>0时，点M的轨迹是以AB为直径的圆，除去A,B两占八、、•探究2结论1的反面是什么？是否成立？结论2椭圆x2a2+y2b2二1上两个顶点（-a,0）,（a,
3、0）与椭圆上除这两个顶点外的任一点连线的斜率之积为定值-b2a2.探究3类比“圆中任一条直径所对的圆周角是直角”，将结论2中的两顶点换成经过椭圆屮心的任意一条弦的两端点，结论是什么？结论是否成立？结论3椭圆x2a2+y2b2=l上任意经过中心的弦的两个端点与椭圆上任一点（除这两点外）连线斜率之积为定值-b2a2.探究4将“圆的垂径定理：平分眩（不是直径）的直径垂直于眩”类比到椭圆屮，结论是什么？结论是否成立？结论4过椭圆x2a2+y2b2=l的中心平分该椭圆弦的直线与弦所在的直线的斜率Z积为定值-b2a2.探究5将“圆的切线定理：过切点的直径垂直于过该切点的圆的切线”类比到椭圆中，结论
4、是什么？结论是否成立？结论5过椭圆x2a2+y2b2=l上一点与屮心连线的直线的斜率与椭圆在该点处切线的斜率之积为定值-b2a2.当然，可将以上椭圆中的结论类比到双曲线中，探究其是否成立.（限于篇幅，留给读者探究总结）3対接高考例1（2013年高考全国大纲卷（理科）第8题）椭圆C：x24+y23二1的左、右顶点分别为Al、A2,点P在C±,且直线PA2斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1斜率的取值范围是（）.A.12,34B.38,34C.12,1D.34,1解析由结论2得，kPAl?kPA2二-34,所以kPAl二-34kPA2（-2WkPA2W-1）•因为kPAl单调递增
5、，所以38WkPAlW34,故选B.例2（2013年高考全国新课标I卷（理科）第10题）已知椭圆E：x2a2+y2b2=l（a>b>0）的右焦点为F（3,0）,过点F的直线交椭圆于A、B两点•若AB的中点坐标为（1,-1）则E的方程为（）・A.x245+y236二1B.x236+y227二1C・x227+y218二1D・x218+y29二1解析由结论4得：-b2a2二-12,所以a2=2b2.又a2二b2+9,所以b2=9,a2二18,选D.例3（2013年高考全国新课标卷II（理科）笫20题第（1）问）平面直角坐标系xOy中,过椭圆M：x2a2+y2b2二1（a>b
6、>0）右焦点的直线x+y-3二0交M于A,B两点，P为AB的中点，且0P的斜率为12.求M的方程.解析由结论4得，-b2a2=12X（-1）,所以a2=2b2.乂直线x+y-3二0过焦点（c,0）,所以c二3,即a2-b2=3,所以a2=6,b2=3,点M的轨迹方程为x26+y23二1.例4（2013年高考北京卷（理科）第19题第（2）问）已知A、B、C是椭圆肌x24+y2二1上的三个点，0是坐标原点•当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.解析四边形OABC不可能为菱形•理由如2假设四边形OABC为菱形，则对和线0B与AC互相垂直且平分于点M,于是k
7、OB?kAC=-l.又由结论4知，kOM?kAC=-14.因为kOM=kOB,所以k()B?kAC二-14・因为-14工-1,所以假设不正确•所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能为菱形.例5(2013年山东卷(理科)压轴题)椭圆C：x2a2+y2b2二1(a>b>0)的左、右焦点分别是Fl,F2,离心率为32,过F1且垂直于x轴的直线被椭圆C截得的线段长为1.(1)求椭圆C的方程；(2)点P是椭圆C上除长轴端点外的任一点，
