数列经典例题剖析-----例题

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1、数列的题型与考点一、考点回顾1.数列的概念，数列的通项公式与递推关系式弟数列和等比数列的概念、有关公式和性质.2.判断和证明数列是等差(等比)数列常用三种方法：⑴定义法：对于的任意口然数，验证色-a「(竺)为同一常数。色一］(2)通项公式法：①若an=ax^(n-Y)d=ak+(n-k)d,则｛a“｝为等差数列;②若％北严,则｛%｝为等比数列。③中项公式法：验证纽(心=耳％』《N都成立。3.在等差数列｛%｝中,有关Sn的最值问题——常用邻项变号法求解：⑴当q>O,d<0时，满足］aMO的项数m使得S加取最大值.

2、⑵当^<0,d>0时，满足［各】巴0的项数m使得S,”取最小值。在解含绝对值的数列最值问题吋,注意转化思想的应用。4.数列求和的常用方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法、分组求和法、累加累积法、归纳猜想证明法等。5.数列的综合应用：⑴函数思想、方程思想、分类讨论等思想在解决数列综合问题时常常用到。⑵数列与函数、数列与不等式的综合、用数列知识解决实际问题等内容。6.注意事项：⑴证明数列｛%｝是等差或等比数列常用定义法，即通过证明%％」或也=而得。Q”％⑵在解决等差数列或等比数列的相关问题时，“基木量法

3、”是常用的方法，但有时灵活地运用性质，可使运算简便。⑶对于一般数列的问题常转化为等差、等比数列求解。⑷注意一些特殊数列的求和方法。⑸注意片与①之间关系的转化。如：⑹数列极限的综合题形式多样，解题思路灵活，但万变不离其宗，就是离不开数列极限的概念和性质，离不开数学思想方法，只要能把握这两方而，就会迅速打通解题思路.⑺解综合题的成败在于审清题F1,弄懂来龙去脉，透过给定信息的表象，抓住问题的本质，揭示问题的内在联系和隐含条件，明确解题方向，形成解题策略.⑻通过解题后的反思，找准口己的问题，总结成功的经验，吸取失败的

4、教训，增强解综合题的信心和勇气，提高分析问题和解决问题的能力.数列的概念数列的分类<数列的通项公式J函数角度理解数列的递推关系'等差数列的定义an-an_.=d｛n>2)等差数列等差数列的通项公式匕+S-l)d等差数列的求和公式S”=-(6/,+色)二呦+空匸12等差数列的性质色+am=ap+aq(m+"=p+q)两个某木数列公式法分组求和数列求和等比数列的定义-^=^>2)an-l等比数列的通项公式〜=吋”"1-q-q=1)等比数列的性质勺血=ClpClq(/Z74-H=p+q)等比数列的求和公式S”=<错

5、位相减求和裂项求利倒序相加求利累加累积归纳猜想证明数列的应用分期付款其他二、经典例题剖析考点一：等差、等比数列的概念与性质例题1.已知等比数列｛©｝中卫2，。3卫4分別是某等差数列的笫5项、第3项、笫2项，且%=64,公比gHl(I)求％(II)设=吨2d”，求数歹的前〃项和T“・例题2.设数列的前n项和为Sn,若仅)是首项为1，各项均为正数且公比为q的等比数列.(1)求数列仏｝的通项公式©;(2)试比较色+色+2与2%加"+)的大小,并证明你的结论.考点二：求数列的通项与求和例题3.已知数列⑺“｝屮各项为：1

6、1……122……212、1122、111222>……、"个(1)证明这个数列中的每一项都是两个相邻整数的积.(2)求这个数列前n项Z和Sn.例题4.已知S”是数列｛“”｝的前n项和,并且2,对任意正整数n,S“+]"a”+2；设bn=5+1一2~S=1,2,3,…)(I)证明数列｛勺」是等比数列，并求仏”｝的通项公式；C”=如卫为数列｛1｝(II)设31002°”]•log2C”+2的前n项和，求7k考点三：数列与不等式的联系例题5.已知°为锐角，且tan

7、ix)-xtan2a+x•sin(2a+—)函数4（1）求函数/（X）的表达式;(2)求证:%1>%；]]]*1<++・・・+<2(7?>2,7?e)⑶求证:1+d]1+1+cin<_2>[YXn^~Xn例题6•己知数列满足"31,77GN：且X

8、=1.设=~Xn42且T2n=%+2a2+3。3+•••+(2n一+2na2n.（I）求£的表达式;(II)求B；(III)2=1-若3n+1(2〃+1尸（hgN*）-，试比较9丁2,戶2的大小，并说明理由.eN.求证:例题7.已知函数/⑴一兀一'11（1+兀）,

9、数列仏”｝满足°v"心）;数列⑷满足心Z如心°V©+1V%V1；(II)乙(III)若®2'则当心2时,®考点四：数列打函数、向量、概率等的联系例题&无穷数列⑺"｝的前n项和S”="心⑺并h4工§.（1）求p的值；（2）求仏“｝的通项公式；（3）作函数/（尤）=。2%+。3兀■+…+%+

10、X",如果S]（）=45证明:/(-)<-34例题9.已知定义域为R的二次函数/⑴的最小值为（）且