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《中考数学复习指导：例谈构造辅助圆解几何题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、例谈构造辅助圆解几何题在解儿何题时，经常要添加辅助线，其中，有一种不寻常的辅助线一一圆，值得我们研究，下面举例说明添加辅助圆在解儿何题屮的作用.一、通过辅助圆确定等腰三角形个数如图1,在平面直角坐标系中,已知A点坐标是（2,—2）,在y轴上确定点P,使ZXAOP为等腰三角形，则符合条件的点P共有个.解析在平面直角坐标系中，因为0、A两点固定不动，相当于已知等腰三角形一边OA,OA既可作底，又可作腰，因为等腰三角形中有两边相等，所以我们可以利用同圆中半径相等这一性质，通过构造圆來解决.此题应分三种情况考虑：①当0A为腰、ZA为等腰三角形顶角吋，可以以点A为圆心、
2、0A为半径的作圆，交y轴于Pi点，则点P】就是所求；②当OA为腰、ZO为等腰三角形顶角时，可以以点D为圆心、OA为半径的作圆，交y轴于P?和P4点，则点P2和卩4亦是所求;③当0A为底时，作0A的中垂线交），轴于P3点，则点P3亦是所求作的点.综上，符合条件的点P共有4个.二、通过辅助圆确定直角三角形个数例2在平面直角坐标系屮，点A的坐标为（1,1）,点B的坐标为（11，1），点C到直线AB的距离为4,且AABC是直角三角形，则满足条件的点C有—个.r16Cl匕4-2(a]—一…—叭0-2c^c6x-4丿•图2解析如图2所示，在第一象限内，以AB为直角边吋，
3、存在C】、C?两点；以AB为斜边时，作以AB为直径的圆，交直线y=5于C3、G两点，由直径所对的圆周角是直角可知，C3、C4两点亦满足条件；由对称性可知，第四象限内存在C5、C6、C7、Cg四个点.故满足条件的点C共有8个.说明在平面直角坐标系中确定等腰三角形和直角三角形个数时，均可通过作辅助圆來解决，这样在求满足条件的点吋可以做到不重不漏，是一•种较好的解题方法.三、通过辅助圆解决两个直角三角形共斜边问题例3已知：如图3,AABC屮，点E、F分别是AB、AC上的点.DE丄AB,DF丄AC,AD±EF.求证：AD平分ZBAC.图3解析设AD的中点为D,连结OE
4、,OF.VOE丄AB,DF丄AC.・・・OE,OF分别是RtAADE,RtAADF斜边上的中线，・・・0E=丄AD,OF=-AD,22即点O到A、E、D、F的距离相等，由此知，四点A、E、D、F在以点O为圆心，丄AD2为半径的圆上，AD是直径.于是EF是OO的弦，而EF丄AD,・・・AD平分&)F,即=故ZDAE=ZDAF,即AD平分ZBAC.说明当两个直角三角形共斜边时，意味着存在四点共圆.通过构圆，利用垂径定理來解决平分角的问题.四、通过辅助圆解决共端点的等线段问题例4如图4,已知四边形ABCD,AB〃CD,且AB=AC=AD=d,BC=b,且2d>b,图
5、4求cosZDBA的值.解析既然己知AB=AC=AD,自然想到作以点A为圆心、AB为半径的辅助圆，以点A为圆心，d为半径作圆，延长BA交OA于E点，连接ED.・.・AB〃CD,.•.ZCAB=ZDCA,ZDAE=ZCDA.・.・AC=AD,・・・ZDCA=ZCDA,AZDAE=ZCAB/.ACAB^ADAE,・・・ED=BC=b.TBE是直径，.,.ZEDB=90°.在RtAEDB中，ED=b,BE=2d,由勾股定理得ed2+bd2=be2.•••BE=VBE1_ED2=/(2a)2/.cosz<_DBABD=BE说明当题目中有多条线段共端点时，常作以公共端点
6、为圆心，等长线段为半径作圆,则易沟通题设和结论的联系，使问题迅速获解.五、利用同弧所对的圆心角和圆周角的关系求角的度数例5已知：如图5,抛物线y=a^+bx+c与兀轴交于点A(-2,0)、B(8,0),与y轴交于点C(0,-4).直线y=x+m与抛物线交于点D、E(D在E的左侧),与拗物线的对称轴交于点F.(1)求抛物线的解析式;(2)当m=2吋，求ZDCF的大小;I3解析(l)y=才兀彳--x-4；；(2)由(1)可得抛物线的对称轴为x=3.Vm=2.・••直线的解析式为y=x+2.•・•直线)，=兀+2与抛物线交于点D、E,与抛物线的对称轴交于点F,・・・
7、F、D两点的坐标分别为F(3,5),D(-2,0).设抛物线的对称轴与兀轴的交点为M.可得CM=FM=MD=5.・・・F、D、C三点在以M为圆心，半径为5的圆上,5=5=45。•六、通过辅助圆求线段的収值范围例6如图6,梯形ABCD中，BC/7AD,ZBAD=90°,AD=18,BC=24,AB=m,在线段BC±任取一点P,连结DP,作射线PE丄DP,PE与直线AB交于点E.(1)当CP=6时，试确定点E的位置；(2)若设CP=x,PE=y,写出y关于兀的函数关系式；(3)在线段BC上能否存在不同的两点匕、P2，使得按上述作法得到的点E都分别与点A重合，若能，
8、试求出此吋m的取值范围;图6若不能，请
