数学课堂应重视例习题的探究教学

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1、数学课堂应重视例习题的探究教学张新贞(浙江省东阳中学322100)《普通高中数学课程标准》(实验)中指出：“探究性学习是数学学习的一种新的尝试，其主要目的在于培养学生在数学上的创新精神，敢于质疑、提问、反思、推广，初步经历数学发现、数学探究、数学创造的过程，从而亲身体验数学探究的激情和愉悦。”纵观近年来的数学高考试题，许多试题直接取材于教材，是对教材例习题进行组合、加工和拓展，充分展现出教材在复习考试屮的基础作川。教材屮许多例习题蕴含着深刻的数学文化背景和重要的数学思想，在解题思路和方法上具有典型性和代表性，在由知

2、识转化为能力上具有示范性和启发性，运用联系和发展的观点，对书本例习题进行全方位的探究，既能提高学生重视教材和钻研课本的自觉性、主动性和积极性，又可加强学生思维能力和创新精神的培养,激发学生的情感。因此数学课堂应当高度重视例习题的探究教学。一.背景探究——挖掘知识背景，感受数学文化。教育家赞可夫说：“要以知识本身吸引学生学习，使学生感到认识新事物的乐趣，体验克服困难的喜悦。”教材中的许多例习题往往有深刻的数学文化背景,通过数学背景的挖掘，可促使学生充分感受数学文化的魅力，从而激发数学学习的兴趣。例1•平面内有n条直线

3、，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数/(；2)=-n(n-l)(n>2)(人教版高中数学第三册P66例5)2在教学中可将求交点个数改为求n条直线将平面划分的块数。即平面内有n条直线，其中任何两条直线不平行，任何三条不共点，求n条直线将平面分成的块数。在解决过程中利用了递推关系式f(n)=f(n-)+n-1(n>2),其几何意义是第n条直线被n-1条直线截成n段，每一段将/(n-1)块中的某一块分成两块，求得/(H)=-(/?24-7l4-2)o进一步延伸为：n个圆最多可将平面分成多少块？此题

4、首先要理解平面被分成数最多的条件是：每两个圆都相交，任意两圆不相切，任意三圆不过同一点。则有递推式f(n)=f(n-l)+2(n-l)(n>2)结论:/(1)=2,当">1时，f(n)=n2如果将平面问题向空间拓展，则得到如下问题：一个平面把空间分成2部分，两个平面最多把空间分成4部分，三个平面最多把空间分成8部分，那么四个平面最多把空间分成几部分？分析：设第四个平面为前3个平面与。都相交，且交线屮没冇两条平行，没有三线共点时，这四个平面把空间分成的部分最多。这时，。被前3个平面的交线最多分成7部分，每一部分都作为

5、前三个平面已剖分的空间中某些新出现的空的“隔板”。因此，在三个平面已剖分空间中某些数冃的基础上要加7,即15部分。事实上，关于点划分直线，直线划分平面，平面划分空间的问题，在各类参考书上屡有出现。通过研究，有如下以递推数列为背景的基本规律：分割元素数被分成的部分数点分直线直线分平面平面分空间0111122223443478451115nn+1设n个点分直线所成的部分数为n条直线把平面划分成的最多部分数为pn,则pn+i=pn+Ln=PU+(n+1),设n个平面把空间划分成的最多部分数为Kn则Kll+i=Kn4-Pn

6、利用递推数列的知识可以求得代=1+卄巴口2=尤+"+1,222一.题组探究——实行变式教学，促进知识迁移。不少课本中的例习题，蕴含着丰富的内涵，若能把它们进行挖掘，可以发现许多规律性的结论,因此在课堂中有意识地将相关问题组合成题组，实行变式教学，可以帮助学生探究数学知识之间的内在规律，促进知识的迁移，是提高学生解题能力及整理与归纳能力的重要途径。例2•过抛物线y2=2px的焦点的一条直线与它相交于两点P、Q,经过点P和抛物线顶点的直线交准线于点M,求证：直线MQ平行于抛物线的对称轴。(人教版高中数学第二册上P123

7、习题6)如图，这是与抛物线焦点弦冇关的一道习题，在证明了结论以后可引导学生思考该命题的逆命题是否正确，即为如下问题，此题出现在2001年全国高考试题中：设抛物线y2=2px(P>0)的焦点为F,经过点F的直线交抛物线于A、B两点，点C在抛物线的准线上，且BC〃x轴，证明：直线AC经过原点0。根据圆锥曲线的统一•性，可引导学生联想在抛物线屮成立的结论在椭圆、双曲线中是否同样成立？即将抛物线改为椭圆或双曲线，是否也有类似的结论呢？从而得到题组，开展变式教学。r2变式1.(2001年广东试题)如图，已知椭圆y+y2=l的

8、右准线与x轴相交于点E,过椭圆右焦点F的直线与椭圆相交于A、B两点，点C在椭圆的右准线上，且BC//X轴，求证：直线AC经过线段EF的屮点M。29变式2.已知双曲线二-—=1的右准线与x轴相交于点E,过椭圆右焦点Fcrkr的直线与双曲线相交于A、B两点，点C在双曲线的右准线上，JELBCZ/x轴，求证：直线AC经过线段EF的中点此三题从表面上看似乎无联系，但