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《李广全-高等数学（工科类专业适用）教案6.2.2二重积分的计算》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、6.2.2二重积分的计算教学目标：(1)学会将二重积分化为两种不同次序的二次积分的方法;(2)掌握直角坐标系下二重积分的计算。教学重点：直角坐标系下二重积分的计算。教学难点：将二重积分化为两种不同次序的二次积分的方法。授课时数：4课时.教学过程备注过程提问2'知识回顾牛顿一一莱布尼兹公式£/U)cLy=F(x)
2、：=F(b)-F(a)(其中Fx)=f(x))将定积分转化为不定积分来计算.新知识二重积分讣算可以转化为两次定积分进行计算，这种方法称为二次积分(或累次积分).由二重积分的概念可知，如果二重积分JJf(x,y)d(r存在，它的值与区域£＞的分法无关，其
3、面积元素ckr象征着和式极限中的;©・在直角坐标系下，我们可以采用便于计算的分割方法：用与坐标轴平行的两组直线把D划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形(图6-15所示)，于是，小矩形的面积△of,因此在直角坐标系下，面积元素为dcr=d.xdy.于是二重积分可写成\/(-V,刃dcr=Jjf(x,刃cLrdy•教师讲授下面根据二重积分的几何意义，结合积分区域D的种形状特点，介绍二重积分的计算方法.1.积分区域为X-型域积分区域D为：Q聂吐b,%(x)颈b(pAx),称为X-型域(或上下结构)，其中函数°(x),6.2.2二重积分的计算教学目标：(1)学会将二重积
4、分化为两种不同次序的二次积分的方法;(2)掌握直角坐标系下二重积分的计算。教学重点：直角坐标系下二重积分的计算。教学难点：将二重积分化为两种不同次序的二次积分的方法。授课时数：4课时.教学过程备注过程提问2'知识回顾牛顿一一莱布尼兹公式£/U)cLy=F(x)
5、：=F(b)-F(a)(其中Fx)=f(x))将定积分转化为不定积分来计算.新知识二重积分讣算可以转化为两次定积分进行计算，这种方法称为二次积分(或累次积分).由二重积分的概念可知，如果二重积分JJf(x,y)d(r存在，它的值与区域£＞的分法无关，其面积元素ckr象征着和式极限中的;©・在直角坐标系下
6、，我们可以采用便于计算的分割方法：用与坐标轴平行的两组直线把D划分成各边平行于坐标轴的一些小矩形(图6-15所示)，于是，小矩形的面积△of,因此在直角坐标系下，面积元素为dcr=d.xdy.于是二重积分可写成\/(-V,刃dcr=Jjf(x,刃cLrdy•教师讲授下面根据二重积分的几何意义，结合积分区域D的种形状特点，介绍二重积分的计算方法.1.积分区域为X-型域积分区域D为：Q聂吐b,%(x)颈b(pAx),称为X-型域(或上下结构)，其中函数°(x),®(x)在［。，切上连续(图6—16所示).图6-16不妨设/(兀,y)...O,由二重积分的几何意义知
7、，JJf{x,y)dxdy表示以D为底,D以曲面z=/(x,y)为顶的曲顶柱体的体积(图6—17(2)).(2)图6-17选取兀为积分变量,在［a,b］上任取一个小区间［x,x+dr］,设A(x)表示过点兀且垂直于兀轴的平面与曲顶柱体相交的截面的面积，得曲顶柱体体积V的微元为dV=A(x)dx,所以V=pA(x)(ir・又因为截面是以区间［%(x),02(x)］为底，以曲线Z=/(X,y)(x是固定的)为曲边的曲边梯形，所以A(x)=^X)f(x,y)dy•J%(")于是V=f［("2(r7(x,y)dy］dA-.JaJ©(x)2(/上式右端是一个先对y、再对x
8、的二次积分(累次积分).就是说，先把兀看作常数，把f(x,y)只看作y的函数，并对y计算从％(x)到輕⑴的定积分，然后把所得的结果(是x的函数)再对x计算从。到方的定积分.这个先对)，、再对兀的二次积分常记作1：时；：：/(5八因此将二重积分化为先对y,再对兀的二次积分的计算公式写作JJ/(■y)drdy=J：dxj；：：f(x,y)dy.在上述讨论中，我们假定了/(x,y)...O.但实际上公式的成立并不受此条件限制.知识巩固X_3'4丿例2计算二重积分口(1D'dxdy,其中D为矩形区域:-liOx1,-2孤2.解矩形区域是X-型域，（图6-18所示），所以
9、，选取先对y积分，后对兀积分的顺序.即以34丿drdy=f卩寸［(1-£卜新ml34丿・2dyd.v44——xdx3-1教师讲授图6-1830’=(4x——十)=8.3-1新知识1.积分区域为丫-型域积分区域D为：B（y）剖兀妁（y）,c^lyd,称为丫-型域（或左右结构〉,其中函数0］（刃,02（刃在区间［c,d］上连续（图6—19所示）.教师讲授图6-19仿照“X-型域”的计算方法，有“丫-型域”的计算方法\Jx，刃dxdyDf（x,y）dxdy=J：4yJ：：：＞Jx,y）dx.这就是把二重积分化为先对x、再对y的二次积分的公式.注意如果积分区域D不
10、能表示成上而两种形式中的
