浅谈抽象函数题的解题策略和技巧

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1、浅谈抽象函数题的解题策略和技巧常州市新北区小河中学顾银芳抽象函数是函数的难点之一，其通常只给出定义域、解析递推关系式、函数部分图象特征等性质，而不直接告知其函数类别或其解析式。抽象函数题具有题型新颖、构思精巧、意境独特、思路隐晦等特点。正是由于这些特点，所以抽象函数的理解、研究往往比较困难,考生往往感到无所适从，思维容易受阻。但此类问题的研究有助于全面提高学生对函数概念的理解，有助于提高推理论证能力和数学素质，更能有效地考查考生的抽象思维能力、知识迁移能力和数学思维品质。下面通过具体例题谈谈如何求解抽象函数题。

2、一、利用函数性质的解题思想函数的特征是通过它的性质表现的，函数的性质常包括函数的定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性等，这些是研究函数的基础，也是函数研究的重要对象，抽象函数在这一点上也不例外。只有充分利用题设条件，挖掘隐含的性质，再运用函数的一般研究方法，才能顺利解决问题。1、利用奇偶性，整体思考例］、已知函数f(x)=ax5+bsinx+3,且f(-3)=7,求f(3)的值。分析：f(X)的解析式中含有两个参数a、b,却只有一个条件f(-3)二7,无法用待定系数法确定a、b的值，因此解析式不确定，注意到©(

3、x)=ax'+bsinx是奇函数即可寻得解题思路。解令G(x)二ax°+bsinx,则f(x)二©(x)+3,所以f(3)二©(3)+3①f(-3)二©(_3)+3②又因为©(x)=ax5+bsinx是奇函数，所以C(3)+4)(-3)=0所以①+②得f⑶+f(-3)=6,所以f(3)=6-f(-3)=-lo评注：这种解法运用了整体思想，优化整体为局部，再由各局部的解决使整体问题得解。2、利用单调性，等价转化例2、已知函数f(x)在定义域(-8,1］上是减函数，问是否存在实数k,使f(k-sinx)2f(k2-

4、sin2x)对一切实数x恒成立？并说明理由。分析：由单调性，脱掉抽象的函数记号。解由题意，原不等式等价于k-sinxWl?-sir?xWl,它又等价于k2<1+sin2x(l)k~—k—n(sinx—)2(2)42市函数的最值性，不等式(1)对一切x恒成立的充要条件是kW(l+sir?x)min二1,艮卩TWkWl(3)不等式(2)对一切恒成立的充要条件是k2_k+—［(sinx~—)2］max=—,解得k22或kWT(4)424由(3)(4)求交集得2-1,故存在k二-1适合题设条件。评注：抽象函数与不等式的

5、综合题常需利用单调性，脱掉函数记号。3、利用周期性，回归己知例3、设f(x)是定义在R上的函数，且满足/(兀+2)=-丄，当2Wx/(X)W3时,f(x)=x,求f(2008.6)的值。分析：所给函数只给出［2,3］上的解析式，以及一个递推公式，而要求的值不在［2,3］上，所以若能联系函数的周期性，本题即得解。解在f(x+2)=-一中令x二x+2得/(x+4)=!—=f(x)，所以该函/(兀)/(兀+2)数的周期T=4,则f(2008.6)=f(0.6)二-一=・f(2.6)2.613评注：对一类抽象函数求值问

6、题，充分利用周期性，可化未知为已知。4、利用对称性，数形结合例4、已知函数f(x)为奇函数，在(-8,0)内是增函数，又f(-2)=0,求xf(x)<0的解集.分析：本题关键是求f(x)>0和f(x)<0的解集。数形结合是处理的最佳方法。解：可画出该函数的简图如下:八yA0xxf(x)<0等价于［「>0或］*<01/«<01/«>0结合函数的图象得该不等式的解集为{xl0

7、些抽象型函数的特殊模型(列表如特殊函数模型抽象函数函数f(x)=kx(kHO)f(x+y)二f(x)+f(y)(x、yWR)f(xy)=f(x)f(y)(x、yeR)；幕函数f(x)=xaf(—)二/^(x>yWR,f(y)工0)yf(y)指数函数f(x)=a*(a>f(x+y)=f(x)f(y)(x、yeR)0,a7^1)f(x—y)二/^■(x、yWR,f(y)HO)/(y)对数函数f(x)二logaX(a>0,a^l)f(xy)=f(x)+f(y),(x>0,y>0)f(-)=f(x)-f(y)(x>0,

8、y>0)y三角函数f(x+T)=f(x)(T为常数,TH0)正切数数f(x)=tgxf(x+y)二/(兀)+/(》)(1-f(x)f(y)HO)•1-/W(刃若充分利用这些模型解题，既可使学生掌握解决数学问题的规律,培养了解题能力，又使学生体会到人们对事物的认识，总是在感性认识的基础上，通过抽象概括上升为理性认识，最终揭示事物的本质这一认识规律。例5、已知函数f(x)的定义域为(0,+