中考复习专题——圆切线问题典型问题

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1、圆切线问题典型问题例1.已知半径为3的⊙O上一点P和圆外一点Q，如果OQ＝5，PQ＝4，则PQ和圆的位置关系是（   ）   A.相交                             B.相切   C.相离                             D.位置不定   解：∵OP＝3，PQ＝4，OQ＝5，   ∴，   ∴△OPQ是直角三角形，且∠OPQ＝90°，   ∴PQ⊥OP。   即圆心O到PQ的距离等于圆的半径。   ∴PQ和圆的位置关系相切，故选B。   点拨：在没有明确知道圆心到直线的距离和半径的关系时，通过已有

2、的知识进行推证。本题也可以通过切线的判定定理求解，即通过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。  例2.在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，O为AB上一点，AO＝m，⊙O的半径，问m在什么范围内取值时，AC与圆：   （1）相离；（2）相切；（3）相交。   点悟：要判定直线与圆的位置关系，只要比较圆心到直线的距离与半径的大小。   解：如图所示，过O作OD⊥AC垂足为D，   ，   ∴   （1）当，即，也即时，则AC与⊙O相离；   （2）当，即，也即时，AC与⊙O相切；   （3）当，即，也即时，AC与⊙O相交。  例3.已

3、知：在△ABC中，AD为∠BAC的平分线，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，且∠B＝∠CAE，FE：FD＝4：3。   求证：AF＝DF；   证明：∵AD平分∠BAC，   ∴∠BAD＝∠DAC。   ∵∠B＝∠CAE，∴∠BAD＋∠B＝∠DAC＋∠CAE   ∵∠ADE＝∠BAD＋∠B，   ∴∠ADE＝∠DAE，   ∴EA＝ED   ∵DE是半圆C的直径，   ∴∠DFE＝90°   ∴AF＝DF  例4.已知⊙O中，AB是直径，过B点作⊙O的切线，连结CO，若AD∥OC交⊙O于D，求证：CD是

4、⊙O的切线。   点悟：要证CD是⊙O的切线，须证CD垂直于过切点D的半径，由此想到连结OD。   证明：连结OD。   ∵AD∥OC，   ∴∠COB＝∠A及∠COD＝∠ODA   ∵OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD   ∴∠COB＝∠COD   ∵CO为公用边，OD＝OB   ∴△COB≌△COD，即∠B＝∠ODC   ∵BC是切线，AB是直径，   ∴∠B＝90°，∠ODC＝90°，   ∴CD是⊙O的切线。   点拨：辅助线OD构造于“切线的判定定理”与“全等三角形”两个基本图形，先用切线的性质定理，后用判定定理。  例5.如图所示，△A

5、BC为等腰三角形，O是底边BC的中点，⊙O与腰AB相切于点D。   求证：AC与⊙O相切。   点悟：显然AC与⊙O的公共点没有确定，故用“d＝r”证之。而AB与⊙O切于D点，可连结OD，则OD⊥AB。   证明：连结OD、OA。过O作OE⊥AC，垂足为E。   ∵AB＝AC，O为BC的中点，   ∴∠BAO＝∠CAO   又∵AB切⊙O于D点，   ∴OD⊥AB，又OE⊥AC，   ∴OE＝OD，   ∴AC与⊙O相切。   点拨：此题用了切线的性质定理，同时又用了切线的判定方法“d＝r”。  例6.已知⊙O的半径OA⊥OB，点P在OB的延长线

6、上，连结AP交⊙O于D，过D作⊙O的切线CE交OP于C，求证：PC＝CD。   点悟：要证PC＝CD，可证它们所对的角等，即证∠P＝∠CDP，又OA⊥OB，故可利用同角（或等角）的余角相等证题。   证明：连结OD，则OD⊥CE。   ∴∠EDA＋∠ODA＝90°   ∵OA⊥OB   ∴∠A＋∠P＝90°，   又∵OA＝OD，   ∴∠ODA＝∠A，∠P＝∠EDA   ∵∠EDA＝∠CDP，   ∴∠P＝∠CDP，∴PC＝CD   点拨：在证题时，有切线可连结切点的半径，利用切线性质定理得到垂直关系。  例7.在△ABC中，∠A＝70°，点O

7、是内心，求∠BOC的度数。   点悟：已知O是内心，由内心的概念可知OB、OC分别是∠ABC、∠ACB的平分线。   解：在△ABC中，∠A＝70°，      ∵O是△ABC的内心   ∴     。   ∴   ∴