第八章第八节

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1、第八节　抛物线1．抛物线的定义平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)距离__________的点的轨迹叫做抛物线．2．抛物线的标准方程与几何性质标准方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)图形相等x≤0，y∈R1．在抛物线的定义中，若定点F在直线l上，动点P的轨迹还是抛物线吗？【提示】不是．当定点F在定直线l上时，动点的轨迹是过点F且与直线l垂直的直线．2．抛物线y2＝2px(p＞0)上任一点M(x1，y1)到焦点F的距离

2、MF

3、与坐标x1有何关系？

4、【答案】B2．(2011·陕西高考)设抛物线的顶点在原点，准线方程为x＝－2，则抛物线的方程是()A．y2＝－8xB．y2＝8xC．y2＝－4xD．y2＝4x【答案】B3．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么

5、AB

6、等于()A．10B．8C．6D．4【解析】由题意知p＝2，∴

7、AB

8、＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.【答案】B4．已知抛物线的顶点在原点，焦点在y轴上，抛物线上的点P(m，－2)到焦点的距离为4，则m的值为()A．4B．－2C．4或－4D

9、．12或－2【答案】C抛物线的定义及应用【思路点拨】(1)根据圆C与圆外切、和直线相切，得到点C到点的距离，到直线的距离，再根据抛物线的定义可求得结论．(2)利用抛物线定义，将

10、PM

11、转化为到焦点的距离，再数形结合求解．【尝试解答】(1)设圆C的半径为r，则圆心C到直线y＝0的距离为r.由两圆外切可得，圆心C到点(0,3)的距离为r＋1，也就是说，圆心C到点(0,3)的距离比到直线y＝0的距离大1，故点C到点(0,3)的距离和它到直线y＝－1的距离相等，故点C的轨迹为抛物线．【答案】(1)A(2)C【思路点拨】(1

12、)只需求出焦点到准线的距离即可，可画图分析．(2)确定抛物线的焦点，从而求出P即可．抛物线的标准方程与几何性质【答案】(1)C(2)D(1)直线l过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点，且与抛物线交于A、B两点，若线段AB的长是8，AB的中点到y轴的距离是2，则此抛物线的方程是________．(2)设抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点为F，点A(0,2)．若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离为________．(2011·福建高考)已知直线l：y＝x＋m，m∈R.(1)若以点M(2,0)为圆心的圆

13、与直线l相切于点P，且点P在y轴上，求该圆的方程．(2)若直线l关于x轴对称的直线为l′，问直线l′与抛物线C：x2＝4y是否相切？说明理由．【思路点拨】(1)先求P(0，m)，利用MP⊥l可求m值，再求半径，写出圆的方程．(2)写出直线l′的方程，直线l′的方程和抛物线C的方程联立得到一元二次方程，最后根据判别式求m的值．直线与抛物线的位置关系1．涉及到直线与抛物线交点，可通过直线方程与抛物线方程联立的方程组消元后的一元方程来考虑．2．直线与抛物线相切时，只有一个公共点，但当直线与抛物线只有一个交点时，直线还可能

14、与抛物线的对称轴平行而不相切．从近两年的高考看，抛物线的定义、标准方程及几何性质是高考的热点，且常以选择题、填空题的形式出现，属中档题目，有时也与向量、不等式等综合命题，以解答题的形式出现，考查分析问题和解决问题的能力以及创新探究能力．【答案】C2．(2011·山东高考)设M(x0，y0)为抛物线C：x2＝8y上一点，F为抛物线C的焦点，以F为圆心、

15、FM

16、为半径的圆和抛物线C的准线相交，则y0的取值范围是()A．(0,2)B．[0,2]C．(2，＋∞)D．[2，＋∞)【解析】∵x2＝8y，∴焦点F的坐标为(0,2

17、)，准线方程为y＝－2.由抛物线的定义知

18、MF

19、＝y0＋2.以F为圆心、

20、FM

21、为半径的圆的标准方程为x2＋(y－2)2＝(y0＋2)2.由于以F为圆心、

22、FM

23、为半径的圆与准线相交，又圆心F到准线的距离为4，故4＜y0＋2，∴y0＞2.【答案】C课时知能训练