2018-2019学年高中数学 第一讲 坐标系 一 平面直角坐标系学案 新人教A版选修4-4

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1、一　平面直角坐标系学习目标　1.了解平面直角坐标系的组成，领会坐标法的应用.2.理解平面直角坐标系中的伸缩变换.3.能够建立适当的平面直角坐标系，运用解析法解决数学问题.知识点一　平面直角坐标系思考1　在平面中，你最常用的是哪种坐标系？坐标的符号有什么特点？答案　直角坐标系；在平面直角坐标系中，第一象限内的点的横纵坐标均为正，第二象限内的点的横坐标为负，纵坐标为正，第三象限内的点的横纵坐标均为负，第四象限内的点的横坐标为正，纵坐标为负.思考2　坐标法解问题的关键是什么？如何建立恰当的坐标系？答案　建立平面直角

2、坐标系；通常选图形的特殊点为坐标原点，边所在直线为坐标轴.比如，对称中心为图形的顶点，为原点，对称轴边所在直线为坐标轴.梳理　(1)平面直角坐标系的概念①定义：在同一个平面上相互垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称直角坐标系.②相关概念：数轴的正方向：水平放置的数轴向右的方向、竖直放置的数轴向上的方向分别是数轴的正方向.x轴或横轴：坐标轴水平的数轴.y轴或纵轴：坐标轴竖直的数轴.坐标原点：坐标轴的公共点O.③对应关系：平面直角坐标系内的点与有序实数对(x，y)之间一一对应.(2)坐标法解决几何问

3、题的“三部曲”：第一步，建立适当坐标系，用坐标和方程表示问题中涉及的几何元素，将几何问题转化为代数问题；第二步，通过代数运算解决代数问题；第三步：把代数运算结果翻译成几何结论.知识点二　平面直角坐标系中的伸缩变换思考1　如何由y＝sinx的图象得到y＝3sin2x的图象？答案　y＝sinxy＝sin2xy＝3sin2x.思考2　伸缩变换一定会改变点的坐标和位置吗？答案　不一定，伸缩变换对原点的位置没有影响.但是会改变除原点外的点的坐标和位置，但是象限内的点伸缩变换后仍在原来的象限.梳理　平面直角坐标系中伸缩变

4、换的定义(1)平面直角坐标系中方程表示图形，那么平面图形的伸缩变换就可归结为坐标的伸缩变换，这就是用代数方法研究几何变换.(2)平面直角坐标系中的坐标伸缩变换：设点P(x，y)是平面直角坐标系中任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称_φ_为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换.类型一　坐标法的应用命题角度1　研究几何问题例1　已知△ABC中，AB＝AC，BD，CE分别为两腰上的高，求证：BD＝CE.证明　如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线为y轴建立平面直角

5、坐标系.设B(－a,0)，C(a,0)，A(0，h).则直线AC的方程为y＝－x＋h，即hx＋ay－ah＝0.直线AB的方程为y＝x＋h，即hx－ay＋ah＝0.由点到直线的距离公式，得

6、BD

7、＝，

8、CE

9、＝.∴

10、BD

11、＝

12、CE

13、，即BD＝CE.反思与感悟　根据图形的几何特点选择适当的直角坐标系的一些规则：①如果图形有对称中心，选对称中心为原点；②如果图形有对称轴，可以选对称轴为坐标轴；③使图形上的特殊点尽可能多地在坐标轴上.跟踪训练1　在▱ABCD中，求证：

14、AC

15、2＋

16、BD

17、2＝2(

18、AB

19、2＋

20、AD

21、2

22、).证明　如图，以A为坐标原点，AB所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系.设B(a，0)，C(b，c)，则AC的中心E，由对称性知D(b－a，c)，所以

23、AB

24、2＝a2，

25、AD

26、2＝(b－a)2＋c2，

27、AC

28、2＝b2＋c2，

29、BD

30、2＝(b－2a)2＋c2，

31、AC

32、2＋

33、BD

34、2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab)，

35、AB

36、2＋

37、AD

38、2＝2a2＋b2＋c2－2ab，所以

39、AC

40、2＋

41、BD

42、2＝2(

43、AB

44、2＋

45、AD

46、2).命题角度2　求轨迹方程例2　如图，圆O1与圆O2的半径

47、都是1，

48、O1O2

49、＝4，过动点P分别作圆O1，圆O2的切线PM，PN(M，N分别为切点)，使得

50、PM

51、＝

52、PN

53、，试建立适当的坐标系，并求动点P的轨迹方程.解　如图，以直线O1O2为x轴，线段O1O2的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则O1(－2,0)，O2(2,0).设P(x，y)，则

54、PM

55、2＝

56、O1P

57、2－

58、O1M

59、2＝(x＋2)2＋y2－1，

60、PN

61、2＝

62、O2P

63、2－

64、O2N

65、2＝(x－2)2＋y2－1.∵

66、PM

67、＝

68、PN

69、，∴

70、PM

71、2＝2

72、PN

73、2，∴(x＋2)2＋y2－1＝2[(x－2)

74、2＋y2－1]，即x2－12x＋y2＋3＝0，即(x－6)2＋y2＝33.∴动点P的轨迹方程为(x－6)2＋y2＝33.反思与感悟　建立坐标系的几个基本原则：①尽量把点和线段放在坐标轴上；②对称中心一般放在原点；③对称轴一般作为坐标轴.跟踪训练2　在△ABC中，B(－3,0)，C(3,0)，直线AB，AC的斜率之积为，求顶点A的轨迹方程.解　设A(x，y)，则kAB＝，kAC＝(x≠±3).由kAB