[精品]数值分析研究报告

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1、不同意义下的函数逼近问题徐玲1,张雷21•辽宁工程技术大学理学院信息与计算科学，阜新(123000)2.辽宁工程技术大学理学院信息与计算科学，阜新(123000)E-mail：xuling19870520®126.com摘要：针对函数逼近问题，本文分别利用三次样条插值，最佳一次逼近，最佳平方逼近三种逼近方式对已给函数进行逼近比较，从而得出了，三次样条插值逼近最好，但需要知道被逼近的函数在节点上的n个准确值。勒让德做最佳平方逼近随着次幕的增加函数越逼近。关键词：三次样条插值，最佳一次逼近，最佳平方逼近，法方程，勒让得多项式在数值计算屮经

2、常要计算函数值，如计算机屮计算基本初等函数及其他特殊函数;当函数只在有限点集上给定函数值，要在包含该点集的区间上用公式给出函数的简单表达式，这些都涉及到在区间［a,b］上用函数逼近已知复朵函数的问题，这就是函数逼近问题。2.1三次样条插值2.1.1三次样条函数定义：若函数S(x)wC2［d,b］,且在每个小区间Xj,xy+1上是三次多项式，其中a=x()

3、)则称S(兀)为三次样条插值两数。1.2样条插值函数公式的导出：利用S(x)的二阶导数值5(x7)=M7.(j=O,1……叭表达S(x),由于S(x)在区间［xpx7+1上是三次多项式，故S(x)在［xy.,xy+1上是线性函数，可表示为Sx)=MJx-x.hj对S”⑴积分两次并利用Sg)=兀及S(饬)=，可定义出积分常数，于是得三次样条表达式-x)3(x-xf.)3M./i.2x..-xA/.2x-x;S⑴屮弋l+~寸+(y厂宁)十+(右十)宁JJJJ(j=O,l……,n-l).2・、最佳一次逼近2.1最佳一次逼近定义:假定f(x

4、)ec[a.b]9若存在用⑴丘比使得^f,P；)=En则称⑴是/(兀)在[。,列上的最佳逼近多项式。当n=l时，假定f(x)ec2[a,b]9且f(兀)在(a,b)内不变号，则是最佳一次逼近多项式A(x)=do+a“・2.2最佳一次逼近公式的导出：至少有34"a

5、外两个偏差点必是区间端点，即x}=a^x2=b且满足人(b)-/(b)=-[片(兀2)-/(兀2)]由此得到彳"Wf(Q(^a{a-f(a)=/(七)-(®十山七)・解出a产住f⑷"(S代入前一个式得_/(a)+/(x2)f(h-a)a+x202b-a2这就得到最佳一次逼近多项式P}(x)=a。+qx.3、最佳平方逼近3.1最佳平方逼近定义：对f(x)ec[a,h]及c[a,b]屮的一个子集0=¥劲{%⑴(兀)},若存在S*(x)e^,使x)[f(x)-S(x)^dx

6、

7、/(兀)—S()

8、

9、；=脱

10、

11、/⑴—S(Q

12、

13、；二材叮p(则称S

14、*(x)是/(%)在了集0uc[a,列中的最佳平方逼近函数。3.2最佳平方逼近公式的导出:(1)用法方程作最佳平方逼近：为了求可Sx)该问题等价于求多元函数It/（绳,也,..％）=]°（兀）£勺转（兀）一/⑴7=0dx的最小。由于心。,％…舛）是关于，…色的二次函数，利用多元函数求极值的必要条件即2=2da,Pn(X)=n(2n)dxnAnl(X2-lf]G⑴ta俐(兀)-.f(兀)(pk(x)^/x=0(k=0,l,2....,n)于是有工（件•⑴,俗⑴”丿=（/（x）,^（x））J=o这是关于d（）,d],...an的线

15、性方程组，称为法方程。由于％（%）,叭（兀）,...0”（兀）线性无关,故系数detG（0o（x）,%Cx）,...0Q））HO,于是方程组有唯一解色（k=0,l,...,n）,从而得到S'（x）=唧0O）+a、（p（兀）+…+an（pn（x）.（2）用勒让德公式作最佳平方逼近：勒让徳多项式：当区间为[-1,1],权函数°（x）三1吋，由｛1,兀，…，*,・・・｝正交化得到的多项式就称为勒让德多项式，并用£）（兀），£（兀），…，代（兀），…，表示。这是勒让徳于1785年引进的。1814年罗徳利克给出了简单的表达式£）（兀）=1,璟

16、兀）=舟令｛（兀2_1）“｝（n=l,2,…），而后通过推理得出了最高项系数为1的勒让德多项式为进而又得出了勒让德的递推公式(n+1)^J+I(x)=(2n+V)xPn(x)-nPn_{(x)(n=l,2,…),由/＞（