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1、于是9—r,尸2.则点P为CD的中点.2于是9—0,3人、2P图3二次函数动点探究题赏析江苏朱元生二次*1数是初屮数学的重耍内容之一，而数学探究乂是数学教育改革的新亮点，因此二次*1数探究题便成了各地中考命题的热点，命题者将二次函数问题巧妙设计成数学探究题用以考査同学们的分析能力、想象能力、探究能力和创新能力。现仅就2008年中考题有关二次函数动点探究题精选两例解析如下，供同学们鉴赏：例1(2008福建龙岩)如图，等腰梯形ABCQ中，AB=4,CD=9,ZC=60°,动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿D4方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动
2、点也随Z停止运动.(1)求4D的长；(2)设CP=x，问当x为何值时△PDQ的而积达到最大，并求出最人值；(3)探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M,并求出的长；不存在，请说明理由.分析⑴过点A作AE〃BC交CD于点己,证厶AED为等边三角形，则AD可求；(2)^APDQ的边PD及PD边上的高力用含兀的代数式J力表示，则APDQ的面积可表示为x的二次函数，根据二次函数的卩极值可求得APDQ面积的最大值；(3)先假设四边形PDQM为菱形，则PD=DQ从而求得点Q,过点Q作QM〃DC交BC于点M,则点M为所求，然后再证四边形PDQM为菱形.,a解⑴如图1,
3、过点A作AE//BC交CD于点E,则CE=AB=4.ZAED=ZC=60°.又IZP=ZC=60°,AA£D是等边三角形..IAD=DE=9-4=5.(2)如图2,DQ=CP=x,/z为PD边上的高,ZD=60°,/PDQ的而积S对表示为:S亠Dh」(9r)•鸟卫(9—)一晅(厂与+应22244216(3)如图3,假设存在满足条件的点M,则PD必须等于DQ.此时，点P、Q的位置如图3所示，连QP.ZD=60°,则△PDQ为等边三角形.过点Q作QM//DC,交BC于M,点M即为所求.连结MP,则CP=PD=DQ=CM,ZC=60°,则ACPM也是等边三角形.AZD=Z3=60°.:.MP/
4、/QD,二四边形PDQM是平行四边形.乂,PD=DQ.・•・四边形PDQM是菱形.91所以存在满足条件的点M,KBM=BC-MC=5~-=-.22例2(2008海南)如图，已知抛物线经过原点O和x轴上:W—点A,它的对称轴x=2与兀轴交于点C,直线y=-2x-1经过抛物线上一点且与y轴、直线x=2分别交于点D、E.(1)求的值及该抛物线对应的函数关系式；(2)求证：①CB=CE；②D是BE的中点;(3)若P(x,y)是该抛物线上的一个动点，是否存在这样的点P,使得PB=PE,若存在，试求出所冇符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由分析(1)由点在直线y=-2兀-1上，可求得加的值及点B
5、的处标，进而求得抛物线的解析式；(2)通过分别求得CB和CE的长来说明CB=CE,过点B作BG//X轴，与),轴交于F、直线尸2交于G,过点E作EH//x轴，交y轴于苗/DFB竺/DHE,证得£>是3E的中点;(3)若存在点P使得PB=PE,则点P必在线段BE的中垂线CD上,动点P又在抛物线上，通过解直线CD和抛物线对应的函数关系式所联列的方程组，贡解即为所求点的坐标.解(1)J点在直线y=-2x-l上,Azn=-2x(-2)-l=3.B(-2,3)J抛物线经过原点O和点A,对称轴为尸2,.:点人的坐标为(4,0).设所求的抛物线对应函数关系式为y=<7(x-0)(x-4).将点心)代
6、入上式，得琢2-。)(24),,•。专・・・所求的抛物线对应的函数关系式为歹=丄x(x-4)，即y=lx2-x.44(2)①直线尸・2兀・1与y轴、直线尸2的交点坐标分别为D(0,-l)£(2,-5).过点8作BG//X轴，与y轴交于尸、直线尸2交于G,则点G坐标为(2,3)BG丄直线x=2,BG=4.在MBGC中，BC=y]cG2+BG2=^32+42=5.ICE=5,:.CB=CE=5.②过点E作EH//x轴，交y轴于则点H的坐标为H(0,・5).又点F、D的坐标为F(0,3)>P(0,-l),・•・FD二DH=4,BF=EH=2,ZBFD=ZEHD=90°.:.HDFB竺/DHE(
7、SAS),:.BD=DE.即D是BE的中点.(3)由于PB=PE,・•・点P必在线段BE的屮垂线CD±,又点P在抛物线)丄x2-x±,-4・・・符合条件的点P应是直线CD与该抛物线的交点.设直线CD对应的函数关系式为y=kx+b.将点D(0,-l)C(2,0)代入，尸得fz•解得k=L,b=-i.2k+b=02直线CD对应的函数关系式为y=—x-.解方程组兀]=3+^/~51+V5・•・符合条件的点P的坐标为（3+石,
