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时间：2019-11-18
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1、变换群和置换群及Cayley定理变换群和置换群的概念变换群置换群：是一类特殊的变换群置换的表示α=β=αβ=(1234)(56)α=β=(132)(1432)αβ=(1423)同构的概念有些群虽然来源不一样，但从群的代数结构与性质上看，它们是完全相同的，这就引入了同构的概念。同构映射使两个群的所有代数性质都一一对应将G中的单位元映射为G’中的单位元；将G中任一元素a的逆元素a-1映射为G’中对应元素f(a)的逆元素(f(a))-1；将G中的子群映射为G’中的子群；保持元素的阶不变：ord(f(a))=ord(a)；保持元素的可交换性：若ab=ba，则f(a)f(b)=f(b)f(a)。
2、总之，两个同构的群，如果不考虑它们的实际背景，而只考虑它们的代数性质，就可以将它们等同起来看作一个群。例子正实数关于乘法形成一个群，(R+，x)实数关于加法形成一个群，(R,+)这两个群同构，对数映射是一个同构映射。Cayley定理定理：任何一个群同构于一个变换群；任何一个有限群同构于一个置换群。Cayley定理告诉我们，通过研究变换群和置换群的代数性质，就可以知道其它各种群的代数性质。
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