牛顿(Newton)插值法

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1、牛顿（Newton）插值法xx0x1………….xn-1xnyy0y1………….yn-1yn求n次多项式Nn(x)使得：Nn(xi)=f(xi)=yi，i=0，1，…，nNn(x)=c0+c1(x–x0)+c2(x–x0)(x–x1)+…..+cn(x–x0)(x–x1)….(x-xn)Newton插值xx0x1………….xn-1xnxn+1yy0y1………….yn-1ynyn+1Newton插值的承袭性增加一个点之后Nn+1(x)=c0+c1(x–x0)+c2(x–x0)（x–x1）+….+cn(x–x0)(x–x1)…(x–xn-1)+cn+1(x–x0)(x–x1)….(x–xn-1)

2、(x-xn)Newton插值Ci的求法令x=x0得：Nn(x0)=c0=y0=f(x0)x=x1得：Nn(x1)=c0+c1(x1–x0)=y1=f(x1)由此可解出：c0，c1；ci依次类推。Nn(x)=c0+c1(x–x0)+c2(x–x0)(x–x1)+…..+cn(x–x0)(x–x1)….(x-xn)线性插值公式可以写成如下形式：P1(x)=p0(x)+c1(x–x0)其中p0(x)=f(x0)，其修正项的系数再进一步修正p1(x)可以进一步得到抛物线插值公式p2(x)=p1(x)+c2(x–x0)(x–x1)C2=差商的概念差商的定义定义1：设有函数f(x)以及自变量的一系列互

3、不相等的x0，x1，…，xn（即在I≠j时，xi≠xj）的值f(xi),称为f(x)在点xi,xj处的一阶差商，并记作f[xi,xj]，又称为f(x)在点xi,xj,xk处的二阶差商。相应的称为f(x)在点x0，x1，…xn处的n阶差商。其中(i≠j,xi≠xj)其中(i≠k)差商形式的插值公式求作次数≤n多项式pn(x),使满足条件，Pn(xi)=yi,i=0,1,…利用差商其解亦可表达为如下形式：Pn(x)=f(x0)+f(x0，x1)(x–x0)+…+f(x0，x1，…xn)(x–x0)(x–x1)…(x-xn-1)称这种差商形式的插值公式为牛顿插值公式。差商形式的Newton插值公

4、式Nn(x)=f(x0)+f[x0，x1](x–x0)+…+f[x0，x1，…xn](x–x0)(x–x1)…(x-xn-1)牛顿插值法的优点在于：当增加一个节点时，只要再增加一项就行，即有递推式：Nk+1=Nk(x)+f[x0，x1，…xk，xk+1](x–x0)(x–x1)…(x-xk)