小样本下分位数函数的Bootstrap置信区间估计

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1、航空学报ActaAerOnauticaetAstronauticaSinicaOct．252012VoI．33No．101842-1849ISSN1000．6893CN11．1929／VhtlD：∥hkxb．buaa．educnhkxb(亘》buaa．edu．cn文章编号：10006893(2012)lO一1842一08小样本下分位数函数的Bootstrap置信区间估计袁修开1，吕震宙1’*，岳珠峰21．西北工业大学航空学院，陕西西安7100722．西北工业大学力学与土木建筑学院，陕西西安710072摘要：航空产品试验

2、一般为小样本试验，为了分析小样本情况下的试验数据，结合以概率加权矩为约束条件的最大熵法和求解置信区间及置信带的Bootstrap方法，提出了一种估计小样本试验件母体分位数函数置信区间的方法。最大熵法在矩约束下能够估计样本的密度函数，而以概率加权矩为约束条件的最大熵法能够针对小样本直接给出分位数的无偏估计，无需由密度函数积分得到累积分布函数，再进行转化得到分位数函数。Bootstrap方法求解置信区问具有不依赖于数据分布的优点，具有广泛的应用范围。关键词：分位数；置信区间；最大熵法；概率加权矩；Bootstrap方法中图

3、分类号：V2l6．3；TBll4．3文献标识码：A在工程结构系统的风险性分析中常常会遇到对应于小超越概率的极值分位数估计问题。这些极值分位数代表了载荷和材料属性的设计值，因此工程上要求这些极值分位数的估计是元偏的，而且其估计方差要尽可能少。然而工程中常常由于缺乏可用数据，很难获得高效且无偏的极值分位数估计。传统的方法是首先对观测样本进行拟合得到解析表达的概率分布函数，然后采用极大似然法或最小二乘法估计出相应的分布参数，最后由拟合出的分布函数计算对应的分位数。很明显，传统方法下分位数估计的无偏性和效率对分布类型的初始假设

4、比较敏感。另外一种方法是基于概率信息的数学稳健测度——熵的分布拟合方法，称之为最大熵法，是一种概率分布最佳无偏估计的合理求解方法，它能够与可用数据保持一致性，且包含最小的不真实信息。虽然最大熵法能够得到分布的最佳无偏估计，但是如果以样本矩为约束条件，则仍然存在对有限数据分布估计的准确性问题。因为小样本下(样本容量小于50)高阶矩(阶数大于2)的估计是存在偏差的。针对小样本下以样本矩为约束条件的最大熵法存在的问题，Pandey[11提出了以概率加权矩(Probability—weightedMoment，PWM)为约束条

5、件的最大熵法。PWM本质上是次序统计量的期望，也可以看做分位数函数的统计矩，它的最大优点是可以准确地估计出小样本条件下高阶矩的值。以PWM为约束条件，保证了最大熵法对分布估计的无偏性。但是文献[1]仅仅给出了分位数点估计量的求解方法，在工程中仅仅给出点估计量还不足以提供充分的信息以供决策，而分位数置信区间能够进一步提供估计值的可信程度，收稿日期：2011．11．01；退修日期：2011—11—22；录用日期：2011—12—19；网络出版时间：2011—12．2818：18网络出版地址：wwwcnnnet／kcms／d

6、etail／11．1929．V．20111228．1818．010．htmI基金项目：国家自然科学基金(51175425，51105309)；航空科学基金(2011zA53015)；中国博士后科学基金(2011M501470)*通讯作者．Tel．：029-88460480E—mail：zhenzhoulu@nwpu．edu-cn戤穗格武tYu8nxK，LuzZ．YuezF．800ts拓apco喇lde黼；ntefva

7、o{掣∞勃

8、e弛nctlonestimati∞参。rsma¨sam；椎esiActaAer。舱ut{c

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10、cslnIca．2012．33(10)：{842—1849．袁修开．8震峦，岳珠蜂．小样本下分位数函教的800tsffapi信区阃估计．航空学投。2012．33(10)：1842．1849．袁修开等：小样本下分位数函数的Bootstrap置信区间估计因此它对工程上的决策更具有意义。但关于分位数的置信区间估计目前还尚未有公开文献报道。Bootstrap方法是一种逼近复杂统计量估计分布的通用方法。它的提出被认为是统计学领域的重要成果之一。Efron[23于1979年最早提出Bootstrap方法，并对

11、BOotstrap方法做出了一系列的相关研究[3。8]，包括Bootstrap估计的标准误差和置信区间等。Bootstrap方法是一种基于对试验观测数据的模拟再抽样来分析不确定性的工具，它运用模拟再抽样技术代替理论分析，摆脱了传统统计方法对分布假定的依赖，适合于任何分布和感兴趣参数的估计。目前，Bootstrap方法已经得到了广泛