数理统计与随机过程ch12平稳随机过程

《数理统计与随机过程ch12平稳随机过程》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、第十二章平稳随机过程重点：掌握如何判断一个平稳随机过程掌握如何判断各态历经性学会计算时间均值和时间相关函数1§12.1平稳随机过程的概念在实际中,有相当多的随机过程,不仅它现在的状态,而且它过去的状态,都对未来状态的发生有着很强的影响.有这样一类随机过程,即所谓平稳过程,它的特点是:过程的统计特征不随时间的推移而变化.严格地说,有下面的定义.2平稳随机过程的定义定义1设{X(t),tT}是随机过程，如果对任意常数h和正整数n，t1,t2,,tnT,t1+h,t2+h,,tn+hT，若(X(t1),X(t2),,X(tn))与(X

2、(t1+h),X(t2+h),,X(tn+h))(1.1)有相同的分布函数，则称{X(t)，tT}为平稳随机过程，或简称平稳过程.3在实际问题中,确定过程的分布函数,并用它来判定其平稳性,一般是很难办到的.但是,对于一个被研究的随机过程,如果前后的环境和主要条件不随时间的推移而变化,则一般就可以认为是平稳的.恒温条件下的热噪声电压过程;强震阶段的地震波幅;船舶的颠簸过程;照明电网中电压的波动过程;各种噪声和干扰等等.4平稳过程数字特征的特点.设平稳过程X(t)的均值函数E[X(t)]存在.对n=1,在(1.1)式中,令h=-t1,由平稳

3、性定义,X(t1)和X(0)同分布.于是E[X(t)]=E[X(0)],记为同样,X(t)的均方值函数和方差函数亦为常数,分别记为和依照图10-4的意义,可以知道,平稳过程的所有样本曲线都在水平直线上下波动,平均偏离度为5又若平稳过程X(t)的自相关函数RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]存在.对n=2,在(1.1)式中,令h=-t1,由平稳性定义,(X(t1),X(t2))与(X(0),X(t2-t1))同分布.于是RX(t1,t2)=E[X(t1)X(t2)]=E[X(0)X(t2-t1)].记为RX(t1,t2)=RX(t2

4、-t1)或RX(t,t+)=E[X(t)X(t+)]=RX().这表明:平稳过程的自相关函数是时间差t2-t1=的单变量函数.6由第十章(2.7)式,协方差函数:CX(t1,t2)=E{[X(t1)-μX(t1)][X(t2)-μX(t2)]}=RX(t1,t2)-μX(t1)μX(t2).那么,协方差函数可以表示为:CX()=E{[X(t)-μX][X(t+)-μX]}=RX()-μX²特别地,令=0,由上式,有7定义2给定二阶矩过程{X(t),tT},如果对任意t,t+TE[X(t)]=μX(常数),E[X(t)X

5、(t+)]=RX(),则称{X(t),tT}为宽平稳过程,也称广义平稳过程.简称平稳过程.•相对地,前述按分布函数定义的平稳过程称为严平稳过程或狭义平稳过程.•一个严平稳过程只要二阶矩存在,则它必定也是宽平稳过程.但反过来,一般是不成立的.•特例:一个宽平稳的正态过程必定也是严平稳.•泊松过程和维纳过程是非平稳过程.8若T为离散集,称平稳过程{X(t),tT}为平稳序列.广义平稳过程严平稳过程严平稳过程广义平稳过程严平稳过程广义平稳过程正态过程二阶矩存在9例1设{Xk,k=1,2,…}是互不相关的随机变量序列,E[Xk]=0,E[X

6、k²]=σ²,则有即相关函数只与k-l有关,所以它是宽平稳的随机序列.如果X1,X2,…,Xk,…又是独立同分布的,则易证序列也是严平稳的.10例2设s(t)是一周期为T的函数,Θ是在(0,T)上服从均匀分布的随机变量,称X(t)=s(t+Θ)为随机相位周期过程.试讨论它的平稳性.解由假设,Θ的概率密度为于是,X(t)的均值函数为11利用s(φ)的周期性,可知而自相关函数12同样,利用s(φ)s(φ+τ)的周期性,可知自相关函数仅与τ有关,即所以,随机相位周期过程是平稳的.特别,随机相位正弦波是平稳的.(第十章§2例2).13例3X(t)=

7、Ycos(t)+Zsin(t),t>0,Y,Z相互独立,E(Y)=E(Z)=0,D(Y)=D(Z)=2.讨论随机过程{X(t),t>0}的平稳性.解14所以{X(t),tT}为宽平稳过程.15例4设{Xn,n=0,1,2,}是实的互不相关随机变量序列，且E(Xn)=0，D(Xn)=2.讨论随机序列的平稳性.解因为E(Xn)=0，所以,{Xn,n=0,1,2,}是平稳随机序列.16例5设状态连续、时间离散的随机过程X(t)=sin(2Θt),其中Θ是(0,1)上的均匀分布随机变量,t只取整数值1,2,，讨论随机过程X

8、(t)的平稳性.解17所以X(t)是平稳过程.18联合平稳随机过程定义3设{X(t),tT}和{Y(t),tT}是两个平稳过程，如果它们的互相关函数E[X(t)Y(t+)]