第七章 第七节 课时限时检测

《第七章 第七节 课时限时检测》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、(时间60分钟，满分80分)一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)1．若平面α，β的法向量分别为a＝(－1,2,4)，b＝(x，－1，－2)，并且α⊥β，则x的值为(　　)A．10　　　　　　　　　　B．－10C.D．－解析：∵α⊥β，∴a·b＝0∴x＝－10.答案：B2．已知向量m，n分别是直线l和平面α的方向向量和法向量，若cos〈m，n〉＝－，则l与α所成的角为(　　)A．30°B．60°C．120°D．150°解析：由于cos〈m，n〉＝－，∴〈m，n〉＝120°，所以直线l与α所成的角为30°.答案：A3．已知平面α内有一个点A(2，－1,2)，α的一个法向量

2、为n＝(3,1,2)，则下列点P中，在平面α内的是(　　)A．(1，－1,1)B.C.D.解析：对于选项A，＝(1,0,1)，则·n＝(1,0,1)·(3,1,2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，＝，则·n＝·(3,1,2)＝0，验证可知C、D均不满足·n＝0.答案：B4．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1和平面DBB1D1所成角的正弦值为(　　)A.B.C.D.解析：以D为坐标原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A(4,0,0)，B(4,4,0)，C(0,4,0)，C1(0,4,2)，＝(－4,4,0

3、)，＝(－4,0,2)．易知AC⊥平面DBB1D1，所以是平面DBB1D1的一个法向量．所以BC1与平面DBB1D1所成角的正弦值为

4、cos〈，〉

5、＝＝＝.答案：C5．(2010·海口模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1中，二面角A－BD1－B1的大小为(　　)A．60°B．30°C．120°D．150°解析：建系如图．设A(1,0,0)，D1(0,0,1)，B(1,1,0)，B1(1,1,1)C(0,1,0)则＝(－1,1,0)为平面BB1D1的一个法向量．设n＝(x，y，z)为平面ABD1的一个法向量．则n·＝0，n·＝0又＝(－1,0,1)，＝(0,1,0)∴∴令x＝1.

6、∴则z＝1∴cos〈，n〉＝－，∴〈，n〉＝120°，即二面角A－BD1－B1的大小为120°.答案：C6.如图所示，A1B1C1－ABC是直三棱柱，∠BCA＝90°，点D1、F1分别是A1B1和A1C1的中点，若BC＝CA＝CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值为(　　)A.B.C.D．－解析：建立如图所示的空间直角坐标系，设BC＝CA＝CC1＝2，则A(2,0,0)，B(0,2,0)，C1(0,0,2)，A1(2,0,2)，B1(0,2,2)．∵D1、F1为A1B1、A1C1的中点，∴D1(1,1,2)，F1(1,0,2)，∴＝(1，－1,2)，＝(－1,0,2)，∴·＝(1

7、，－1,2)·(－1,0,2)＝3，

8、

9、＝＝，

10、

11、＝＝，∴cos〈，〉＝＝＝.答案：A二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)7.如图，在45°的二面角α－l－β的棱上有两点A、B，点C、D分别在α、β内，且AC⊥AB，∠ABD＝45°，AC＝BD＝AB＝1，则CD的长度为________．解析：由＝＋＋，cos〈，〉＝cos45°cos45°＝，∴

12、

13、2＝＋＋＋2(·＋·＋·)＝3＋2(0＋1×1×cos135°＋1×1×cos120°)＝2－，∴

14、

15、＝.答案：8．若A，B，C是平面α内的三点，设平面α的法向量a＝(x，y，z)，则x∶y∶z＝__________.解析

16、：＝，＝，由a·＝0，a·＝0，得解得所以x∶y∶z＝y∶y∶＝2∶3∶(－4)．答案：2∶3∶(－4)9.如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，M，N分别是C1D1，CC1的中点，则直线B1N与平面BDM所成角的正弦值为________．解析：以D为坐标原点，分别以，，的方向为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系，如图，则B1(2,2,2)，N(0,2,1)，＝(2,0,1)，又M(0,1,2)，D(0,0,0)，B(2,2,0)，则＝(2,2,0)，＝(0,1,2)，可得平面BDM的一个法向量n＝(2，－2,1)，因为cos〈n，〉＝＝，故直线B1N与平面B

17、DM所成角的正弦值是.答案：三、解答题(共3个小题，满分35分)10．(2010·新课标全国卷)如图，已知四棱锥P－ABCD的底面为等腰梯形，AB∥CD，AC⊥BD，垂足为H，PH是四棱锥的高，E为AD中点．(1)证明：PE⊥BC；(2)若∠APB＝∠ADB＝60°，求直线PA与平面PEH所成角的正弦值．解：以H为原点，HA，HB，HP所在直线分别为x，y，z轴，线段HA的长为单位长，建立空间直角坐标系如图，则A(1,0,0)，B(0,1,0)．(1)证明：设C(m,0,0)，P